Номер 251, страница 64, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

251 Рыбак поймал рыбу. Когда у него спросили, какова масса пойманной рыбы, он сказал: «Я думаю, что хвост её весит $1 \text{ кг}$, голова – столько, сколько хвост и половина туловища ($ \text{масса головы} = \text{масса хвоста} + \frac{1}{2}\text{масса туловища} $), а туловище – сколько голова и хвост вместе ($ \text{масса туловища} = \text{масса головы} + \text{масса хвоста} $)». Чему же равна масса этой рыбы?

Для решения задачи обозначим массу головы рыбы как $Г$, массу туловища как $Т$ и массу хвоста как $Х$. Общая масса рыбы $М$ будет равна сумме масс ее частей: $М = Г + Т + Х$.

Исходя из слов рыбака, составим систему уравнений:

1. Масса хвоста: $Х = 1$ кг.

2. Масса головы: $Г = Х + \frac{1}{2}Т$.

3. Масса туловища: $Т = Г + Х$.

Из третьего уравнения видно, что масса туловища $Т$ равна сумме масс головы $Г$ и хвоста $Х$. Если мы подставим это в формулу для общей массы рыбы, то получим:

$М = (Г + Х) + Т = Т + Т = 2Т$.

Это означает, что общая масса рыбы вдвое больше массы ее туловища. Теперь нашей задачей является нахождение массы туловища $Т$.

Подставим известное значение $Х = 1$ кг в уравнения 2 и 3:

$Г = 1 + \frac{1}{2}Т$

$Т = Г + 1$

Из второго полученного уравнения выразим массу головы $Г$: $Г = Т - 1$.

Теперь у нас есть два разных выражения для массы головы $Г$. Приравняем их правые части:

$1 + \frac{1}{2}Т = Т - 1$

Решим это уравнение относительно $Т$:

$1 + 1 = Т - \frac{1}{2}Т$

$2 = \frac{1}{2}Т$

$Т = 2 \times 2 = 4$ кг.

Итак, масса туловища составляет 4 кг. Теперь мы можем найти общую массу рыбы:

$М = 2Т = 2 \times 4 = 8$ кг.

Для проверки можем найти массу головы: $Г = Т - 1 = 4 - 1 = 3$ кг.

Тогда общая масса $М = Г + Т + Х = 3 + 4 + 1 = 8$ кг. Все сходится.

Ответ: масса этой рыбы равна 8 кг.