Номер 255, страница 66, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

255 Докажи, что существует натуральное число $x$ такое, что:

а) $3x > 128$;

б) $3x < 128$;

в) $2x - 4 = 52$;

г) $12x - 7x = 90$;

д) $(8 + 3x) : 10 = 2$;

е) $x(6 - x) = 8$;

ж) $(x - 1)(x + 11) = 13$;

з) $35 \div x - 35 \div (x + 2) = 2$;

и) $x + (x + 1) + (x + 2) = 18$;

к) $(2x - 1)(3x - 2)(4x - 3) = 1$.

а) Чтобы доказать, что существует натуральное число $x$, для которого выполняется неравенство $3x > 128$, достаточно найти хотя бы один такой пример. Решим неравенство:
$x > \frac{128}{3}$
$x > 42\frac{2}{3}$
Нам нужно найти любое натуральное число (целое положительное), которое больше $42\frac{2}{3}$. Например, таким числом является $x = 43$. Проверим: $3 \cdot 43 = 129$, и действительно $129 > 128$. Существование доказано.
Ответ: существует, например, $x = 43$.

б) Чтобы доказать, что существует натуральное число $x$, для которого выполняется неравенство $3x < 128$, достаточно найти хотя бы один такой пример. Решим неравенство:
$x < \frac{128}{3}$
$x < 42\frac{2}{3}$
Нам нужно найти любое натуральное число (целое положительное), которое меньше $42\frac{2}{3}$. Например, таким числом является $x = 1$. Проверим: $3 \cdot 1 = 3$, и действительно $3 < 128$. Существование доказано.
Ответ: существует, например, $x = 1$.

в) Решим уравнение $2x - 4 = 52$, чтобы найти значение $x$.
$2x = 52 + 4$
$2x = 56$
$x = \frac{56}{2}$
$x = 28$
Число $28$ является натуральным. Следовательно, такое число $x$ существует.
Ответ: существует, $x = 28$.

г) Решим уравнение $12x - 7x = 90$. Сначала упростим левую часть.
$5x = 90$
$x = \frac{90}{5}$
$x = 18$
Число $18$ является натуральным. Следовательно, такое число $x$ существует.
Ответ: существует, $x = 18$.

д) Решим уравнение $(8 + 3x) : 10 = 2$.
$8 + 3x = 2 \cdot 10$
$8 + 3x = 20$
$3x = 20 - 8$
$3x = 12$
$x = \frac{12}{3}$
$x = 4$
Число $4$ является натуральным. Следовательно, такое число $x$ существует.
Ответ: существует, $x = 4$.

е) Решим уравнение $x(6 - x) = 8$. Раскроем скобки.
$6x - x^2 = 8$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 6x + 8 = 0$
Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета: их сумма равна $6$, а произведение равно $8$. Легко подобрать, что это числа $2$ и $4$.
$x_1 = 2$, $x_2 = 4$
Оба решения, $2$ и $4$, являются натуральными числами. Таким образом, существование доказано.
Ответ: существует, например, $x = 2$ (или $x = 4$).

ж) Решим уравнение $(x - 1)(x + 11) = 13$. Раскроем скобки.
$x^2 + 11x - x - 11 = 13$
$x^2 + 10x - 11 - 13 = 0$
$x^2 + 10x - 24 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 = 14^2$
$x_1 = \frac{-10 + 14}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-10 - 14}{2} = \frac{-24}{2} = -12$
Из двух найденных корней только $x = 2$ является натуральным числом. Следовательно, такое число $x$ существует.
Ответ: существует, $x = 2$.

з) Решим уравнение $35 : x - 35 : (x + 2) = 2$. Запишем его в виде дробей, при условии что $x \neq 0$ и $x \neq -2$.
$\frac{35}{x} - \frac{35}{x+2} = 2$
Приведем к общему знаменателю $x(x+2)$:
$\frac{35(x+2) - 35x}{x(x+2)} = 2$
$\frac{35x + 70 - 35x}{x^2 + 2x} = 2$
$\frac{70}{x^2 + 2x} = 2$
$70 = 2(x^2 + 2x)$
$35 = x^2 + 2x$
$x^2 + 2x - 35 = 0$
По теореме Виета, произведение корней равно $-35$, а сумма $-2$. Это числа $5$ и $-7$.
$x_1 = 5$, $x_2 = -7$
Из двух корней только $x = 5$ является натуральным числом. Следовательно, такое число $x$ существует.
Ответ: существует, $x = 5$.

и) Решим уравнение $x + (x + 1) + (x + 2) = 18$. Упростим левую часть.
$3x + 3 = 18$
$3x = 18 - 3$
$3x = 15$
$x = \frac{15}{3}$
$x = 5$
Число $5$ является натуральным. Следовательно, такое число $x$ существует.
Ответ: существует, $x = 5$.

к) Рассмотрим уравнение $(2x - 1)(3x - 2)(4x - 3) = 1$. Нам нужно найти натуральное число $x$. Попробуем подставить простейшие натуральные числа.
Пусть $x = 1$. Тогда:
$(2 \cdot 1 - 1)(3 \cdot 1 - 2)(4 \cdot 1 - 3) = (2 - 1)(3 - 2)(4 - 3) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.
Равенство выполняется. Так как мы нашли одно натуральное число $x=1$, которое является решением, существование такого числа доказано.
Ответ: существует, $x = 1$.