Номер 258, страница 66, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

258 Докажи или опровергни утверждения.

1) Все числа кратны десяти.

2) Любое число, оканчивающееся цифрой 3, делится на 3.

3) Сумма цифр двузначного числа не может быть больше произведения его цифр.

4) Существует натуральное число x такое, что $18 - 4x = 6$.

5) Некоторые решения неравенства $2 < x \le 7$ являются чётными числами.

6) Каждый делитель числа 10 является делителем числа 12.

1) Утверждение ложно. Число, кратное десяти, должно делиться на 10 без остатка, то есть его последняя цифра должна быть 0. Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести один пример (контрпример) числа, которое не является кратным десяти. Например, число 5 не делится на 10 нацело. Ответ: Утверждение ложно.

2) Утверждение ложно. Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3 только в том случае, если сумма его цифр делится на 3. Возьмем в качестве контрпримера число 13. Оно оканчивается на 3, но сумма его цифр, $1 + 3 = 4$, не делится на 3. Следовательно, и само число 13 не делится на 3. Ответ: Утверждение ложно.

3) Утверждение ложно. Пусть двузначное число состоит из цифр $a$ (десятки) и $b$ (единицы). Нужно доказать или опровергнуть, что $a + b \le a \cdot b$. Рассмотрим в качестве контрпримера число 19. Сумма его цифр равна $1 + 9 = 10$. Произведение его цифр равно $1 \cdot 9 = 9$. Так как $10 > 9$, то есть сумма цифр больше их произведения, данное утверждение неверно. Это справедливо для любого двузначного числа, в котором есть цифра 1 (кроме числа 10). Ответ: Утверждение ложно.

4) Утверждение истинно. Чтобы это проверить, нужно решить уравнение $18 - 4x = 6$ и убедиться, что его корень является натуральным числом. Решаем уравнение: $18 - 6 = 4x$, $12 = 4x$, $x = 12 / 4$, $x = 3$. Число 3 является натуральным числом, следовательно, такое число $x$ существует. Ответ: Утверждение истинно.

5) Утверждение истинно. Решениями неравенства $2 < x \le 7$ являются все числа из интервала $(2, 7]$. Целыми числами, удовлетворяющими этому неравенству, являются 3, 4, 5, 6, 7. Среди этих чисел есть чётные: 4 и 6. Так как в утверждении сказано "некоторые", и мы нашли хотя бы одно такое чётное число, утверждение является верным. Ответ: Утверждение истинно.

6) Утверждение ложно. Сначала найдём все натуральные делители числа 10. Это числа: 1, 2, 5, 10. Затем найдём натуральные делители числа 12. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Для истинности утверждения необходимо, чтобы все делители числа 10 были также и делителями числа 12. Сравнивая эти два множества делителей, мы видим, что число 5 является делителем 10, но не является делителем 12. Этого контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть утверждение. Ответ: Утверждение ложно.