Номер 257, страница 66, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

257 Правильно ли проведено доказательство утверждений?

1) Все натуральные числа делятся на 7: например, $14 : 7 = 2$.

2) Некоторые правильные дроби имеют знаменатель 8: например, знаменатель дроби $\frac{3}{8}$ равен 8.

3) Существуют чётные числа, кратные 3: например, 26 кратно 3.

4) В русском языке некоторые глаголы начинаются с буквы И: например, «игрушка» начинается с буквы И.

5) Все кошки четвероногие: например, у кошки Мурки 4 ноги.

6) Все имена существительные в русском языке состоят из 5 букв: например, существительное «книга» состоит из 5 букв.

250

1) Доказательство проведено неверно. Утверждение «Все натуральные числа делятся на 7» является общим (для всех). Для доказательства общего утверждения недостаточно одного частного примера. Чтобы доказать, что утверждение истинно, нужно доказать его для каждого натурального числа, а чтобы опровергнуть — достаточно привести один контрпример. Например, натуральное число 8 не делится на 7. Следовательно, исходное утверждение ложно, а приведение одного примера не является доказательством.

Ответ: неправильно.

2) Доказательство проведено верно. Утверждение «Некоторые правильные дроби имеют знаменатель 8» является частным (существует хотя бы одна такая дробь). Для доказательства такого утверждения достаточно привести один подходящий пример. Дробь $ \frac{3}{8} $ — правильная, так как её числитель меньше знаменателя ($ 3 < 8 $), и её знаменатель равен 8. Пример полностью соответствует условию.

Ответ: правильно.

3) Доказательство проведено неверно. Утверждение «Существуют чётные числа, кратные 3» является частным. Для его доказательства достаточно одного примера, но пример должен быть верным. В данном случае число 26 является чётным, но не кратно 3, так как при делении 26 на 3 получается остаток ($ 26 = 3 \cdot 8 + 2 $). Само утверждение истинно (например, число 6 — чётное и кратное 3), но приведённый пример его не доказывает, так как он некорректен.

Ответ: неправильно.

4) Доказательство проведено неверно. Утверждение «В русском языке некоторые глаголы начинаются с буквы И» является частным. Для его доказательства нужен пример глагола, начинающегося на «И». Однако слово «игрушка» — это имя существительное, а не глагол. Хотя само утверждение истинно (например, глагол «идти»), приведённый пример не относится к указанной части речи, поэтому доказательство неверно.

Ответ: неправильно.

5) Доказательство проведено неверно. Утверждение «Все кошки четвероногие» является общим. Как и в пункте 1, общее утверждение нельзя доказать одним частным примером. То, что у кошки Мурки 4 ноги, не доказывает, что у всех кошек в мире по 4 ноги. Для доказательства общего утверждения требуется общее рассуждение, а не единичный пример.

Ответ: неправильно.

6) Доказательство проведено неверно. Утверждение «Все имена существительные в русском языке состоят из 5 букв» является общим и, к тому же, ложным. Приведение в качестве примера существительного «книга», которое действительно состоит из 5 букв, не доказывает это общее утверждение. Достаточно найти один контрпример (например, «стол» — 4 буквы, «автомобиль» — 11 букв), чтобы опровергнуть утверждение.

Ответ: неправильно.