Номер 709, страница 143, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

709 Найди наименьшее общее кратное чисел:

1) $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7, b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11;$

2) $a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13, b = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 13;$

3) $a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7, b = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7, c = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5;$

4) $a = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5, b = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7, c = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2.$

1) Даны разложения чисел на простые множители: $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot 7^1$ и $b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11 = 2^1 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 11^1$.

Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) необходимо взять каждый простой множитель, встречающийся в разложениях, с наибольшим показателем степени и перемножить их. В разложениях чисел $a$ и $b$ встречаются простые множители 2, 3, 5, 7, 11. Для каждого из них выберем наибольшую степень: для 2 это $2^2$, для 3 это $3^3$, для 5 это $5^2$, для 7 это $7^1$, для 11 это $11^1$.

Таким образом, НОК($a, b$) $= 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7^1 \cdot 11^1 = 4 \cdot 27 \cdot 25 \cdot 7 \cdot 11 = 207900$.

Ответ: 207900

2) Даны разложения чисел на простые множители: $a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13 = 2^6 \cdot 13^1$ и $b = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 13 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^4 \cdot 13^1$.

Для нахождения НОК этих чисел выпишем все их простые множители (2, 3, 5, 13) и для каждого возьмем наибольшую степень из разложений: для 2 это $2^6$ (из числа $a$), для 3 это $3^1$ (из числа $b$), для 5 это $5^4$ (из числа $b$), для 13 это $13^1$ (степень одинакова в обоих числах).

Таким образом, НОК($a, b$) $= 2^6 \cdot 3^1 \cdot 5^4 \cdot 13^1 = 64 \cdot 3 \cdot 625 \cdot 13 = 1560000$.

Ответ: 1560000

3) Даны разложения чисел на простые множители: $a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 7^1$, $b = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^1$ и $c = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5^3$.

Для нахождения НОК трех чисел действуем аналогично: находим все уникальные простые множители (2, 3, 5, 7) и берем их в наивысших степенях, встречающихся в любом из трех разложений. Это будут: $2^3$ (из числа $c$), $3^2$ (из чисел $a$ и $b$), $5^3$ (из числа $c$) и $7^1$ (из чисел $a$ и $b$).

Таким образом, НОК($a, b, c$) $= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot 7^1 = 8 \cdot 9 \cdot 125 \cdot 7 = 63000$.

Ответ: 63000

4) Даны разложения чисел на простые множители: $a = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 3^1 \cdot 5^4$, $b = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^2$ и $c = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$.

Объединяем все простые множители из трех разложений (2, 3, 5, 7) и для каждого выбираем максимальную степень. Получаем: для 2 это $2^5$ (из числа $c$), для 3 это $3^1$ (из чисел $a$ и $b$), для 5 это $5^4$ (из числа $a$), для 7 это $7^2$ (из числа $b$).

Таким образом, НОК($a, b, c$) $= 2^5 \cdot 3^1 \cdot 5^4 \cdot 7^2 = 32 \cdot 3 \cdot 625 \cdot 49 = 2940000$.

Ответ: 2940000