Номер 716, страница 145, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

*716 Выполняя приказ царя Гороха, генерал Муштралкин пытался выстроить всех солдат в ряды сначала по 2, а затем – по 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, но, к его удивлению, каждый раз последний ряд оказывался неполным, так как оставалось соответственно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 солдат. Какое наименьшее число солдат могло быть?

Пусть $N$ — искомое наименьшее число солдат. Согласно условию задачи, при попытке построить солдат в ряды по $k$ человек, где $k$ принимает значения от 2 до 10, остаток был равен $k-1$. Это можно записать в виде системы сравнений по модулю:

$N$ при делении на 2 дает в остатке 1. ($N \equiv 1 \pmod{2}$)
$N$ при делении на 3 дает в остатке 2. ($N \equiv 2 \pmod{3}$)
$N$ при делении на 4 дает в остатке 3. ($N \equiv 3 \pmod{4}$)
$N$ при делении на 5 дает в остатке 4. ($N \equiv 4 \pmod{5}$)
$N$ при делении на 6 дает в остатке 5. ($N \equiv 5 \pmod{6}$)
$N$ при делении на 7 дает в остатке 6. ($N \equiv 6 \pmod{7}$)
$N$ при делении на 8 дает в остатке 7. ($N \equiv 7 \pmod{8}$)
$N$ при делении на 9 дает в остатке 8. ($N \equiv 8 \pmod{9}$)
$N$ при делении на 10 дает в остатке 9. ($N \equiv 9 \pmod{10}$)

Обратим внимание, что в каждом случае остаток на 1 меньше делителя. Это означает, что если бы к солдатам добавился еще один, то их общее число ($N+1$) делилось бы нацело на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10. Другими словами, число $N+1$ является общим кратным для чисел от 2 до 10.

Поскольку нам нужно найти наименьшее возможное число солдат, мы должны найти наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Для нахождения НОК разложим эти числа на простые множители:

$2 = 2$
$3 = 3$
$4 = 2^2$
$5 = 5$
$6 = 2 \cdot 3$
$7 = 7$
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
$10 = 2 \cdot 5$

Чтобы найти НОК, нужно взять каждый простой множитель в его наибольшей степени, встречающейся в разложениях. Для наших чисел это $2^3$ (из разложения числа 8), $3^2$ (из разложения числа 9), $5$ и $7$.

Вычислим НОК:

НОК(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 72 \cdot 35 = 2520$.

Мы нашли, что $N+1 = 2520$.

Теперь мы можем найти искомое число солдат $N$:

$N = 2520 - 1 = 2519$.

Итак, наименьшее число солдат, которое могло быть, — это 2519.

Ответ: 2519.