Номер 721, страница 146, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

721 Вычисли и сравни степени:

1) $3^2$ и $2^3$

2) $5^2$ и $2^5$

3) $4^3$ и $3^4$

4) $2^7$ и $7^2$

Может ли $a^n$ равняться $n^a$, если $a \ne n$?

1)
Вычислим и сравним степени $3^2$ и $2^3$.
$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
Поскольку $9 > 8$, то $3^2 > 2^3$.
Ответ: $3^2 > 2^3$.

2)
Вычислим и сравним степени $5^2$ и $2^5$.
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
Поскольку $25 < 32$, то $5^2 < 2^5$.
Ответ: $5^2 < 2^5$.

3)
Вычислим и сравним степени $4^3$ и $3^4$.
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.
Поскольку $64 < 81$, то $4^3 < 3^4$.
Ответ: $4^3 < 3^4$.

4)
Вычислим и сравним степени $2^7$ и $7^2$.
$2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128$.
$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$.
Поскольку $128 > 49$, то $2^7 > 7^2$.
Ответ: $2^7 > 7^2$.

Может ли $a^n$ равняться $n^a$, если $a \neq n$?
Да, такое равенство возможно. Чтобы это доказать, достаточно найти хотя бы один пример таких чисел $a$ и $n$, для которых $a \neq n$.
Рассмотрим числа $a=2$ и $n=4$. В этом случае условие $a \neq n$ выполняется.
Проверим, будет ли верным равенство $a^n = n^a$:
$a^n = 2^4 = 16$.
$n^a = 4^2 = 16$.
Так как $16=16$, то равенство $2^4 = 4^2$ является верным. Это доказывает, что $a^n$ может равняться $n^a$ при $a \neq n$.
Ответ: Да, может. Например, $2^4 = 4^2$.