Номер 714, страница 144, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

* C 714 Может ли быть верным равенство:

$К \times О \times Т = У \times Ч \times Е \times Н \times Ы \times Й$, если в него вместо букв поставить цифры от 1 до 9 (разным буквам соответствуют разные цифры)?

В данной задаче необходимо определить, возможно ли равенство, если 9 различных букв (К, О, Т, У, Ч, Е, Н, Ы, Й) заменить на 9 различных цифр от 1 до 9. Это значит, что для построения равенства используется весь набор цифр $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Предположим, что равенство $К \times О \times Т = У \times Ч \times Е \times Н \times Ы \times Й$ верно. Обозначим произведение в левой части через $P$, тогда $P = К \times О \times Т$. По условию, произведение в правой части также равно $P$.

Если мы перемножим левую и правую части исходного равенства, то получим произведение всех девяти цифр от 1 до 9. Это произведение равно $9!$ (9 факториал).
$(К \times О \times Т) \times (У \times Ч \times Е \times Н \times Ы \times Й) = 9!$.

Заменив произведения в скобках на $P$, мы получим уравнение:
$P \times P = 9!$, или $P^2 = 9!$.

Теперь необходимо проверить, может ли $P$ быть целым числом. Для этого нужно выяснить, является ли $9!$ полным квадратом. Вычислим значение $9!$ и разложим его на простые множители.
$9! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 = 362880$.
Разложение на простые множители:
$9! = 1 \times 2 \times 3 \times (2^2) \times 5 \times (2 \times 3) \times 7 \times (2^3) \times (3^2) = 2^{1+2+1+3} \times 3^{1+1+2} \times 5^1 \times 7^1 = 2^7 \times 3^4 \times 5^1 \times 7^1$.

Число является полным квадратом только в том случае, если все показатели степеней в его разложении на простые множители являются чётными. В разложении $9!$ показатели степеней у простых чисел 2, 5 и 7 нечётные (7, 1 и 1). Следовательно, $9!$ не является полным квадратом.

Из этого следует, что $P = \sqrt{9!} = \sqrt{362880}$ не является целым числом. Однако по условию $P$ — это произведение трёх целых чисел (цифр), и значит, само должно быть целым числом. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: нет, такое равенство не может быть верным.