Номер 710, страница 143, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

710 Найди наименьшее общее кратное чисел с помощью разложения на простые множители:

1) 350 и 630;

2) 2070 и 48 300;

3) 18, 42 и 60;

4) 48, 126 и 150.

1) 350 и 630

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел, сначала разложим их на простые множители.

Разложение числа 350 на простые множители:

$350 = 35 \cdot 10 = (5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$

Разложение числа 630 на простые множители:

$630 = 63 \cdot 10 = (9 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = (3^2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$

Для нахождения НОК нужно взять все простые множители, входящие в разложения, каждый в наибольшей степени, в которой он встречается.

В наших разложениях есть множители 2, 3, 5, 7. Наибольшие степени для них: $2^1$, $3^2$, $5^2$, $7^1$.

НОК(350, 630) = $2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^1 = 2 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 7 = 3150$.

Ответ: 3150

2) 2070 и 48 300

Разложим числа 2070 и 48 300 на простые множители.

Разложение числа 2070:

$2070 = 207 \cdot 10 = (9 \cdot 23) \cdot (2 \cdot 5) = (3^2 \cdot 23) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 23$

Разложение числа 48 300:

$48300 = 483 \cdot 100 = (3 \cdot 161) \cdot (10^2) = (3 \cdot 7 \cdot 23) \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 23$

Теперь найдем НОК, взяв все простые множители в их наивысших степенях из обоих разложений.

Множители: 2, 3, 5, 7, 23. Наибольшие степени: $2^2$, $3^2$, $5^2$, $7^1$, $23^1$.

НОК(2070, 48 300) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^1 \cdot 23^1 = 4 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 7 \cdot 23 = 144900$.

Ответ: 144900

3) 18, 42 и 60

Разложим на простые множители каждое из трех чисел.

$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$

$42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

$60 = 6 \cdot 10 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

Для нахождения НОК возьмем каждый простой множитель в наибольшей встречающейся степени.

Множители: 2, 3, 5, 7. Наибольшие степени: $2^2$, $3^2$, $5^1$, $7^1$.

НОК(18, 42, 60) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 1260$.

Ответ: 1260

4) 48, 126 и 150

Разложим на простые множители числа 48, 126 и 150.

$48 = 6 \cdot 8 = (2 \cdot 3) \cdot 2^3 = 2^4 \cdot 3$

$126 = 2 \cdot 63 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$

$150 = 15 \cdot 10 = (3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$

Найдем НОК, собрав все множители в их наивысших степенях.

Множители: 2, 3, 5, 7. Наибольшие степени: $2^4$, $3^2$, $5^2$, $7^1$.

НОК(48, 126, 150) = $2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 16 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 7 = 25200$.

Ответ: 25200