Номер 722, страница 146, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

722 Сравни:

1) $5^3$ и $5 \cdot 3$;

2) $48 \cdot 2$ и $48^2$;

3) $100^5$ и $100 \cdot 5$.

Что общего в каждой паре выражений? Существуют ли натуральные значения $a$ и $n$, при которых выполняются соотношения:

1) $a^n < a \cdot n$;

2) $a^n > a \cdot n$;

3) $a^n = a \cdot n$?

1) $5^3$ и $5 \cdot 3$

Чтобы сравнить два выражения, вычислим их значения.

Степень $5^3$ равна $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

Произведение $5 \cdot 3$ равно $15$.

Так как $125 > 15$, то $5^3 > 5 \cdot 3$.

Ответ: $5^3 > 5 \cdot 3$.

2) $48 \cdot 2$ и $48^2$

Вычислим значения данных выражений.

Произведение $48 \cdot 2$ равно $96$.

Степень $48^2$ равна $48 \cdot 48 = 2304$.

Так как $96 < 2304$, то $48 \cdot 2 < 48^2$.

Ответ: $48 \cdot 2 < 48^2$.

3) $100^5$ и $100 \cdot 5$

Вычислим значения выражений для сравнения.

Степень $100^5$ — это произведение пяти множителей, каждый из которых равен 100. $100^5 = 100 \cdot 100 \cdot 100 \cdot 100 \cdot 100 = 10 \ 000 \ 000 \ 000$.

Произведение $100 \cdot 5$ равно $500$.

Так как $10 \ 000 \ 000 \ 000 > 500$, то $100^5 > 100 \cdot 5$.

Ответ: $100^5 > 100 \cdot 5$.

Что общего в каждой паре выражений?

В каждой из трех пар мы сравниваем два выражения, которые имеют общую структуру. Одно выражение — это возведение числа $a$ в натуральную степень $n$ (т.е. $a^n$), а второе — это произведение этого же числа $a$ на показатель степени $n$ (т.е. $a \cdot n$).

Ответ: В каждой паре сравниваются степень $a^n$ и произведение $a \cdot n$.

Далее ответим на вопрос о существовании натуральных значений $a$ и $n$ для заданных соотношений.

1) $a^n < a \cdot n$

Да, такие натуральные значения существуют. Рассмотрим случай, когда основание степени $a=1$. Неравенство примет вид $1^n < 1 \cdot n$, что равносильно $1 < n$. Это неравенство верно для любого натурального числа $n$, которое больше 1.

Например, возьмём $a=1$ и $n=3$. Тогда $a^n = 1^3 = 1$, а $a \cdot n = 1 \cdot 3 = 3$. Поскольку $1 < 3$, соотношение выполняется.

Ответ: Да, существуют. Например, $a=1, n=3$.

2) $a^n > a \cdot n$

Да, такие натуральные значения существуют. Мы уже видели примеры в первой части задачи. Например, $5^3 > 5 \cdot 3$. Здесь $a=5$ и $n=3$.

Другой пример: возьмём $a=3$ и $n=2$. Тогда $a^n = 3^2 = 9$, а $a \cdot n = 3 \cdot 2 = 6$. Поскольку $9 > 6$, соотношение выполняется. В общем случае это неравенство выполняется для большинства натуральных $a > 1$ и $n > 1$.

Ответ: Да, существуют. Например, $a=3, n=2$.

3) $a^n = a \cdot n$

Да, такие натуральные значения существуют. Если $a > 0$, мы можем разделить обе части равенства на $a$, получив $a^{n-1} = n$.

Проверим некоторые варианты:

1. Если $n=1$, то равенство принимает вид $a^{1-1} = 1$, или $a^0 = 1$, что равно $1=1$. Это верно для любого натурального числа $a$. Например, при $a=7, n=1$ имеем $7^1 = 7$ и $7 \cdot 1 = 7$. Равенство выполняется.

2. Если $n=2$, равенство принимает вид $a^{2-1} = 2$, или $a=2$. Таким образом, пара $a=2, n=2$ является решением. Проверка: $2^2 = 4$ и $2 \cdot 2 = 4$. Равенство выполняется.

Ответ: Да, существуют. Например, $a=2, n=2$ или любая пара, где $n=1$ и $a$ - любое натуральное число, например, $a=7, n=1$.