Номер 729, страница 147, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

729 Найди НОД и НОК чисел а и b по их разложению на простые множители:

1) $a = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2$ и $b = 2 \cdot 7^3 \cdot 13$;

2) $a = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^4 \cdot 7^3$ и $b = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$;

3) $a = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^3 \cdot 13$ и $b = 2^5 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 11$;

4) $a = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 19$ и $b = 2^3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 29^2$.

1) Даны числа $a = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2$ и $b = 2 \cdot 7^3 \cdot 13$.

Для нахождения Наибольшего Общего Делителя (НОД), необходимо взять произведение общих простых множителей, каждый в наименьшей степени, в которой он входит в разложения чисел. Общими множителями являются 2 и 7.

НОД($a, b$) = $2^{\min(4, 1)} \cdot 7^{\min(2, 3)} = 2^1 \cdot 7^2$.

Для нахождения Наименьшего Общего Кратного (НОК), необходимо взять произведение всех простых множителей, входящих в разложения чисел, каждый в наибольшей степени. Это множители 2, 3, 7 и 13.

НОК($a, b$) = $2^{\max(4, 1)} \cdot 3^{\max(2, 0)} \cdot 7^{\max(2, 3)} \cdot 13^{\max(0, 1)} = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^3 \cdot 13$.

Ответ: НОД($a, b$) = $2 \cdot 7^2$; НОК($a, b$) = $2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^3 \cdot 13$.

2) Даны числа $a = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^4 \cdot 7^3$ и $b = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$.

Для нахождения НОД берем общие простые множители (2, 3, 7) с наименьшей степенью.

НОД($a, b$) = $2^{\min(1, 1)} \cdot 3^{\min(2, 2)} \cdot 7^{\min(3, 1)} = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 7^1$.

Для нахождения НОК берем все простые множители (2, 3, 5, 7) с наибольшей степенью.

НОК($a, b$) = $2^{\max(1, 1)} \cdot 3^{\max(2, 2)} \cdot 5^{\max(4, 0)} \cdot 7^{\max(3, 1)} = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^4 \cdot 7^3$.

Ответ: НОД($a, b$) = $2 \cdot 3^2 \cdot 7$; НОК($a, b$) = $2 \cdot 3^2 \cdot 5^4 \cdot 7^3$.

3) Даны числа $a = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^3 \cdot 13$ и $b = 2^5 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 11$.

Для нахождения НОД берем общие простые множители (2, 3, 5) с наименьшей степенью.

НОД($a, b$) = $2^{\min(2, 5)} \cdot 3^{\min(4, 3)} \cdot 5^{\min(3, 1)} = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^1$.

Для нахождения НОК берем все простые множители (2, 3, 5, 11, 13) с наибольшей степенью.

НОК($a, b$) = $2^{\max(2, 5)} \cdot 3^{\max(4, 3)} \cdot 5^{\max(3, 1)} \cdot 11^{\max(0, 1)} \cdot 13^{\max(1, 0)} = 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^3 \cdot 11 \cdot 13$.

Ответ: НОД($a, b$) = $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5$; НОК($a, b$) = $2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^3 \cdot 11 \cdot 13$.

4) Даны числа $a = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 19$ и $b = 2^3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 29^2$.

Для нахождения НОД ищем общие простые множители. В разложениях чисел $a$ и $b$ нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми. Их наибольший общий делитель равен 1.

НОД($a, b$) = 1.

Для нахождения НОК взаимно простых чисел нужно перемножить эти числа. Для этого берем все простые множители из обоих разложений с их степенями.

НОК($a, b$) = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 29^2$.

Ответ: НОД($a, b$) = 1; НОК($a, b$) = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 29^2$.