Номер 731, страница 147, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

731 Разложи числа на простые множители, найди их НОД и НОК.

1) 975 и 1980;

2) 840 и 2700;

3) 162, 432 и 1440.

1) 975 и 1980;

Сначала разложим оба числа на простые множители.
Для числа 975: $975 = 5 \cdot 195 = 5 \cdot 5 \cdot 39 = 3 \cdot 5^2 \cdot 13$.
Для числа 1980: $1980 = 10 \cdot 198 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 99) = 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 11 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11$.
Теперь найдем Наибольший Общий Делитель (НОД). Для этого нужно перемножить общие простые множители, взяв каждый с наименьшим показателем степени.
Разложения чисел: $975 = 3^1 \cdot 5^2 \cdot 13^1$ и $1980 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 11^1$.
Общие множители - это 3 и 5. Наименьшая степень для 3 - это 1, для 5 - это 1.
НОД(975, 1980) = $3^1 \cdot 5^1 = 15$.
Далее найдем Наименьшее Общее Кратное (НОК). Для этого нужно перемножить все простые множители из обоих разложений, взяв каждый с наибольшим показателем степени.
Все множители: 2, 3, 5, 11, 13. Наибольшие степени: $2^2, 3^2, 5^2, 11^1, 13^1$.
НОК(975, 1980) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 11 \cdot 13 = 4 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 11 \cdot 13 = 128700$.
Ответ: Разложение на простые множители: $975 = 3 \cdot 5^2 \cdot 13$, $1980 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11$; НОД = 15; НОК = 128700.

2) 840 и 2700;

Разложим числа 840 и 2700 на простые множители.
$840 = 10 \cdot 84 = (2 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 21) = 2 \cdot 5 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.
$2700 = 100 \cdot 27 = 10^2 \cdot 3^3 = (2 \cdot 5)^2 \cdot 3^3 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$.
Находим НОД, перемножая общие простые множители в наименьшей степени.
Разложения чисел: $840 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1$ и $2700 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$.
Общие множители: 2, 3, 5. Наименьшие степени: $2^2, 3^1, 5^1$.
НОД(840, 2700) = $2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
Находим НОК, перемножая все имеющиеся простые множители в наибольшей степени.
Все множители: 2, 3, 5, 7. Наибольшие степени: $2^3, 3^3, 5^2, 7^1$.
НОК(840, 2700) = $2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7 = 8 \cdot 27 \cdot 25 \cdot 7 = 37800$.
Ответ: Разложение на простые множители: $840 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$, $2700 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$; НОД = 60; НОК = 37800.

3) 162, 432 и 1440;

Разложим на простые множители каждое из трех чисел.
$162 = 2 \cdot 81 = 2 \cdot 3^4$.
$432 = 4 \cdot 108 = 4 \cdot 4 \cdot 27 = 2^2 \cdot 2^2 \cdot 3^3 = 2^4 \cdot 3^3$.
$1440 = 10 \cdot 144 = (2 \cdot 5) \cdot 12^2 = 2 \cdot 5 \cdot (2^2 \cdot 3)^2 = 2 \cdot 5 \cdot 2^4 \cdot 3^2 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5$.
Для нахождения НОД необходимо взять общие для всех трёх чисел простые множители в наименьшей степени.
Разложения чисел: $162 = 2^1 \cdot 3^4$, $432 = 2^4 \cdot 3^3$, $1440 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^1$.
Общие множители для всех трёх чисел - это 2 и 3. Наименьшая степень для 2 - это 1, для 3 - это 2.
НОД(162, 432, 1440) = $2^1 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$.
Для нахождения НОК необходимо взять все простые множители из всех разложений в наибольшей степени.
Все множители: 2, 3, 5. Наибольшие степени: $2^5, 3^4, 5^1$.
НОК(162, 432, 1440) = $2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^1 = 32 \cdot 81 \cdot 5 = 12960$.
Ответ: Разложение на простые множители: $162 = 2 \cdot 3^4$, $432 = 2^4 \cdot 3^3$, $1440 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5$; НОД = 18; НОК = 12960.