Номер 736, страница 148, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

П 736 В 1934 г. индийский студент Сундарам составил бесконечную таблицу, в которой числа первой строки последовательно увеличивались на 3, числа второй строки – на 5, числа третьей строки - на 7 и т. д., а числа первого столбца увеличивались на 3:

4 7 10 13 16 19 ...

7 12 17 22 27 32 ...

10 17 24 31 38 45 ...

13 22 31 40 49 58 ...

16 27 38 49 60 71 ...

19 32 45 58 71 84 ...

... ... ... ... ... ... ...

Если взять любое число из этой таблицы, умножить его на 2 и к произведению прибавить 1, то всегда получится составное число. Если проделать то же самое с числом, не входящим в эту таблицу, то получится простое число. Проверь это свойство для двух чисел, входящих в таблицу, и для двух чисел, не входящих в неё (не забудь, что таблица бесконечная).

Для того чтобы проверить указанное свойство, сначала проанализируем, по какому правилу построена таблица, и выведем общую формулу для её элементов.

Пусть $A_{i,j}$ — это число, стоящее в $i$-й строке и $j$-м столбце (будем считать, что нумерация начинается с 1).

Согласно условию, числа в каждой строке образуют арифметическую прогрессию. Разность для первой строки равна 3, для второй — 5, для третьей — 7 и так далее. Можно заметить, что разность для $i$-й строки, $d_i$, можно вычислить по формуле $d_i = 2i+1$.

Числа в первом столбце также образуют арифметическую прогрессию. Она начинается с 4 и имеет постоянную разность 3. Таким образом, первый элемент $i$-й строки (то есть, $A_{i,1}$) равен $A_{i,1} = 4 + (i-1) \cdot 3 = 3i+1$.

Теперь можно записать общую формулу для любого элемента таблицы $A_{i,j}$, используя формулу $n$-го члена арифметической прогрессии:

$A_{i,j} = A_{i,1} + (j-1) \cdot d_i = (3i+1) + (j-1)(2i+1) = 3i+1 + 2ij+j-2i-1 = i+j+2ij$.

Теперь докажем свойство. Если число $N$ находится в таблице, то его можно представить в виде $N=i+j+2ij$ для некоторых натуральных чисел $i \ge 1$ и $j \ge 1$.

Вычислим выражение $2N+1$:

$2N+1 = 2(i+j+2ij) + 1 = 2i+2j+4ij+1$.

Полученное выражение можно разложить на множители: $2i+2j+4ij+1 = (2i+1)(2j+1)$.

Поскольку $i \ge 1$ и $j \ge 1$, то множители $(2i+1)$ и $(2j+1)$ будут не меньше 3. Это означает, что число $2N+1$ представлено в виде произведения двух целых чисел, каждое из которых больше единицы. Следовательно, $2N+1$ всегда является составным числом.

И наоборот, любое нечетное составное число можно записать в виде произведения двух нечетных чисел, больших единицы, то есть в виде $(2i+1)(2j+1)$ для некоторых $i \ge 1, j \ge 1$. Это означает, что оно имеет вид $2N+1$, где $N = i+j+2ij$ — число из таблицы. Таким образом, если число $N$ не находится в таблице, то $2N+1$ не может быть нечетным составным числом, а значит, оно простое.

Проверка для двух чисел, входящих в таблицу

1. Возьмем число 4 из таблицы. Оно находится в первой строке и первом столбце.
Проверим свойство для $N=4$: $2 \cdot 4 + 1 = 9$. Число 9 является составным, так как $9 = 3 \cdot 3$. Свойство выполняется.
2. Возьмем число 17 из таблицы. Оно находится, например, во второй строке и третьем столбце.
Проверим свойство для $N=17$: $2 \cdot 17 + 1 = 35$. Число 35 является составным, так как $35 = 5 \cdot 7$. Свойство выполняется.
Ответ: для чисел 4 и 17, входящих в таблицу, свойство выполняется, так как в результате получаются составные числа 9 и 35.

Проверка для двух чисел, не входящих в неё

1. Возьмем число 6. Этого числа нет в таблице (в таблице есть числа 4, 7, 10, ...).
Проверим свойство для $N=6$: $2 \cdot 6 + 1 = 13$. Число 13 является простым. Свойство выполняется.
2. Возьмем число 11. Этого числа также нет в таблице (в ней есть 10 и 12, но не 11).
Проверим свойство для $N=11$: $2 \cdot 11 + 1 = 23$. Число 23 является простым. Свойство выполняется.
Ответ: для чисел 6 и 11, не входящих в таблицу, свойство выполняется, так как в результате получаются простые числа 13 и 23.