Номер 737, страница 149, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

737 а) Французский математик Пьер Ферма, живший в XVII веке, обнаружил, что при небольших натуральных значениях $n$ значение выражения $2^{2^n} + 1$ является простым числом. Проверь это утверждение для $n = 1, 2, 3$.

б) Пьер Ферма поставил вопрос о том, будет ли это свойство выполняться при любых $n$. Позже выяснилось, что в общем виде данное утверждение неверно. Как ты думаешь, каким способом это было доказано?

а) Проверим утверждение для указанных значений $n$, подставляя их в выражение $2^{2^n} + 1$. Числа, получаемые по этой формуле, называются числами Ферма и обозначаются $F_n$.

При $n=1$:
$F_1 = 2^{2^1} + 1 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$.
Число 5 является простым, так как делится только на 1 и на 5.

При $n=2$:
$F_2 = 2^{2^2} + 1 = 2^4 + 1 = 16 + 1 = 17$.
Число 17 является простым, так как делится только на 1 и на 17.

При $n=3$:
$F_3 = 2^{2^3} + 1 = 2^8 + 1 = 256 + 1 = 257$.
Чтобы проверить, является ли 257 простым, достаточно проверить его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{257}$. Поскольку $\sqrt{257} \approx 16.03$, нужно проверить делимость на 2, 3, 5, 7, 11, 13. Число 257 не делится ни на одно из них, следовательно, оно является простым.

Таким образом, для $n = 1, 2, 3$ утверждение Ферма выполняется.

Ответ: для $n=1, 2, 3$ значения выражения $2^{2^n}+1$ равны 5, 17 и 257 соответственно, и все они являются простыми числами.

б) Чтобы опровергнуть общее утверждение (то есть утверждение, которое должно быть верным для всех случаев), достаточно найти хотя бы один частный случай, для которого оно не выполняется. Такой случай называется контрпримером.

Именно этим способом и было опровергнуто предположение Ферма. Сам Ферма проверил, что числа $F_0$, $F_1$, $F_2$, $F_3$, $F_4$ являются простыми, но не смог разложить на множители или доказать простоту следующего числа, $F_5$.

В 1732 году математик Леонард Эйлер взялся за эту задачу. Он рассмотрел число при $n=5$:

$F_5 = 2^{2^5} + 1 = 2^{32} + 1 = 4294967297$.

Эйлер смог доказать, что это огромное число не является простым, найдя его делитель. Он показал, что $F_5$ делится на 641:

$4294967297 = 641 \cdot 6700417$

Так как число $F_5$ имеет делители, отличные от 1 и самого себя, оно является составным. Нахождение этого контрпримера и послужило доказательством того, что утверждение Ферма о простоте чисел вида $2^{2^n} + 1$ в общем виде неверно.

Ответ: это было доказано путем нахождения контрпримера. Леонард Эйлер показал, что при $n=5$ число $2^{2^5} + 1$ не является простым, так как оно делится на 641.