Номер 735, страница 148, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1) Упрости выражения: $2^3 \cdot 2^4$, $7^2 \cdot 7^3$, $9^4 \cdot 9^2$. Что общего у всех этих выражений? Можно ли упростить произведение $5^6 \cdot 3^2$? Почему?

Для упрощения выражений воспользуемся определением степени. Степень числа — это результат многократного умножения числа на само себя.

$2^3 \cdot 2^4 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^7$

$7^2 \cdot 7^3 = (7 \cdot 7) \cdot (7 \cdot 7 \cdot 7) = 7^5$

$9^4 \cdot 9^2 = (9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9) \cdot (9 \cdot 9) = 9^6$

Во всех этих выражениях мы умножаем степени с одинаковыми основаниями. Заметим, что в каждом случае показатель степени результата равен сумме показателей степеней множителей: $3+4=7$, $2+3=5$, $4+2=6$.

Произведение $5^6 \cdot 3^2$ упростить таким же образом, то есть представить в виде одной степени, нельзя. Это связано с тем, что основания степеней (5 и 3) разные. Правило сложения показателей применимо только при умножении степеней с одинаковыми основаниями.

Ответ: $2^7$; $7^5$; $9^6$. Общее у всех выражений то, что они являются произведениями степеней с одинаковыми основаниями. Произведение $5^6 \cdot 3^2$ упростить по правилу умножения степеней нельзя, потому что основания степеней различны.

2) Как короче записать произведения: $a^3 \cdot a^2$, $a^5 \cdot a^4$, $a^2 \cdot a^5$? Сформулируй гипотезу о том, как умножить степени с одинаковыми основаниями $a^m \cdot a^n$, и запиши её в буквенном виде.

Используя наблюдение из предыдущего пункта, мы можем записать произведения короче, сложив показатели степеней:

$a^3 \cdot a^2 = a^{3+2} = a^5$

$a^5 \cdot a^4 = a^{5+4} = a^9$

$a^2 \cdot a^5 = a^{2+5} = a^7$

Гипотеза: при умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание следует оставить без изменений, а показатели степеней сложить.

В буквенном виде эта гипотеза (правило) записывается так:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Ответ: $a^5$, $a^9$, $a^7$. Гипотеза: чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а показатели сложить. В буквенном виде: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

3) Какой смысл следует придать выражению $a^0$ ($a \ne 0$), чтобы предложенное тобой правило не нарушалось?

Рассмотрим правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Чтобы это правило оставалось верным для любых целых неотрицательных показателей, включая ноль, подставим в него $n=0$.

Получим: $a^m \cdot a^0 = a^{m+0} = a^m$.

Из равенства $a^m \cdot a^0 = a^m$ следует, что множитель $a^0$ не изменяет значение $a^m$. В алгебре таким свойством обладает только число 1 (единица является нейтральным элементом для умножения). Следовательно, чтобы правило умножения степеней не нарушалось, необходимо принять, что $a^0 = 1$ для любого $a \ne 0$.

Ответ: Выражению $a^0$ (при $a \ne 0$) следует придать значение 1.

1) Упрости выражения: $5^6 : 5^2$, $11^7 : 11^4$, $4^5 : 4^2$. Что общего у всех этих выражений? Можно ли упростить частное $7^4 : 4^2$? Почему?

Упростим выражения, представив деление в виде дроби и сократив одинаковые множители:

$5^6 : 5^2 = \frac{5^6}{5^2} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5} = 5^4$

$11^7 : 11^4 = \frac{11^7}{11^4} = \frac{11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11}{11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11} = 11^3$

$4^5 : 4^2 = \frac{4^5}{4^2} = \frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4} = 4^3$

Общее у всех этих выражений то, что они являются частными от деления степеней с одинаковыми основаниями. Мы видим, что показатель степени результата равен разности показателей степеней делимого и делителя: $6-2=4$, $7-4=3$, $5-2=3$.

Упростить частное $7^4 : 4^2$ по этому правилу нельзя, так как основания степеней (7 и 4) различны. Правило вычитания показателей применимо только при делении степеней с одинаковыми основаниями.

Ответ: $5^4$; $11^3$; $4^3$. Общее у всех выражений то, что они являются частными от деления степеней с одинаковыми основаниями. Частное $7^4 : 4^2$ упростить по правилу деления степеней нельзя, потому что основания степеней различны.

2) Как короче записать частные: $a^7 : a^3$, $a^6 : a^4$, $a^5 : a^2$ ($a \ne 0$)? Сформулируй гипотезу о том, как разделить степени с одинаковыми основаниями $a^m : a^n$ при $a \ne 0$, и запиши её в буквенном виде.

Используя наблюдение из предыдущего пункта, запишем частные короче, вычитая из показателя делимого показатель делителя:

$a^7 : a^3 = a^{7-3} = a^4$

$a^6 : a^4 = a^{6-4} = a^2$

$a^5 : a^2 = a^{5-2} = a^3$

Гипотеза: при делении степеней с одинаковыми основаниями (не равными нулю), основание следует оставить без изменений, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.

В буквенном виде эта гипотеза (правило) записывается так:

$a^m : a^n = a^{m-n}$ (при $a \ne 0$)

Ответ: $a^4$, $a^2$, $a^3$. Гипотеза: чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. В буквенном виде: $a^m : a^n = a^{m-n}$ (при $a \ne 0$).

3) Какой смысл следует придать выражению $a^0$ ($a \ne 0$), чтобы предложенное тобой правило не нарушалось?

Рассмотрим правило $a^m : a^n = a^{m-n}$ (при $a \ne 0$). Чтобы оно было верным, рассмотрим случай, когда показатели степеней равны, то есть $m = n$.

С одной стороны, по этому правилу мы получаем: $a^m : a^m = a^{m-m} = a^0$.

С другой стороны, мы знаем, что любое число (кроме нуля), деленное само на себя, равно 1. То есть, $a^m : a^m = 1$.

Приравнивая оба результата, получаем $a^0 = 1$. Это подтверждает вывод, сделанный в части I, и показывает, что для сохранения обоих правил (умножения и деления степеней) необходимо определить $a^0$ как 1 (при $a \ne 0$).

Ответ: Выражению $a^0$ (при $a \ne 0$) следует придать значение 1.

1) Объясни смысл выражения $(5^2)^3$. Представь его в виде степени с основанием 5. Что ты замечаешь? Проверь свою гипотезу для других аналогичных случаев.

Выражение $(5^2)^3$ означает, что степень $5^2$ нужно возвести в третью степень, то есть умножить $5^2$ саму на себя 3 раза:

$(5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2$

Теперь, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием, сложим показатели:

$5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = 5^{2+2+2} = 5^6$

Я замечаю, что итоговый показатель 6 является произведением показателей 2 и 3: $2 \cdot 3 = 6$. Таким образом, $(5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6$.

Проверим гипотезу (чтобы возвести степень в степень, нужно перемножить показатели) на другом примере, например, $(7^4)^2$:

$(7^4)^2 = 7^4 \cdot 7^4 = 7^{4+4} = 7^8$. По гипотезе: $7^{4 \cdot 2} = 7^8$. Гипотеза верна.

Ответ: Выражение $(5^2)^3$ означает $5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2$. В виде степени с основанием 5 это будет $5^6$. Я замечаю, что показатель результата (6) равен произведению исходных показателей (2 и 3). Гипотеза: $(a^m)^n = a^{mn}$.

2) Упрости выражения: $(a^3)^2$, $(a^2)^4$, $(a^5)^3$. Сформулируй гипотезу о возведении степени в степень $(a^m)^n$ при $a \ne 0$, запиши её в буквенном виде.

Используя гипотезу из предыдущего пункта, упростим выражения:

$(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$ (Проверка: $(a^3)^2 = a^3 \cdot a^3 = a^{3+3} = a^6$)

$(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$ (Проверка: $(a^2)^4 = a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 = a^{2+2+2+2} = a^8$)

$(a^5)^3 = a^{5 \cdot 3} = a^{15}$ (Проверка: $(a^5)^3 = a^5 \cdot a^5 \cdot a^5 = a^{5+5+5} = a^{15}$)

Гипотеза: при возведении степени в степень основание нужно оставить без изменений, а показатели степеней перемножить.

В буквенном виде эта гипотеза (правило) записывается так:

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ (при $a \ne 0$)

Ответ: $(a^3)^2 = a^6$; $(a^2)^4 = a^8$; $(a^5)^3 = a^{15}$. Гипотеза: чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить прежним, а показатели перемножить. В буквенном виде: $(a^m)^n = a^{mn}$ (при $a \ne 0$).