Номер 843, страница 169, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

843 Прочитай утверждения. Основываясь на приведённых определениях и на своём опыте, выскажи гипотезу — верны ли эти утверждения.

А) Через любые две различные точки можно провести только одну прямую.

Б) Через любую точку плоскости можно провести прямую, параллельную данной прямой.

В) Через любую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую.

Г) Через любую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну параллельную ей прямую.

Д) Через любую точку плоскости можно провести прямую, перпендикулярную данной прямой, и притом только одну.

Е) Две прямые на плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу.

Ж) Две прямые на плоскости, параллельные третьей, параллельны друг другу.

З) Пересекающиеся прямые на плоскости не могут иметь двух общих точек.

И) Любые две прямые на плоскости или параллельны, или перпендикулярны.

К) Пересекающиеся прямые обязательно перпендикулярны.

Л) Любые две прямые на плоскости или параллельны, или пересекаются.

М) Любой острый угол меньше любого тупого угла.

Н) Вертикальные углы равны.

О) Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

П) Длина диаметра окружности в два раза больше длины радиуса той же окружности.

Р) Все диаметры окружности имеют одну и ту же длину.

С) Угол, вписанный в окружность, всегда острый.

Т) Длина стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон.

А

Это утверждение является одной из основных аксиом евклидовой геометрии. Она гласит, что через любые две различные точки в пространстве проходит одна и только одна прямая. Если бы можно было провести больше одной прямой, то эти прямые совпадали бы.
Ответ: Верно.

Б

Утверждение неверно в общем случае. Если данная точка лежит на данной прямой, то провести через нее другую, параллельную прямую, невозможно. По определению, параллельные прямые не имеют общих точек, а любая прямая, проведенная через точку на исходной прямой, либо совпадет с ней, либо пересечет ее в этой точке.
Ответ: Неверно.

В

Это утверждение является частью аксиомы о параллельных прямых (также известной как пятый постулат Евклида). Оно утверждает существование параллельной прямой, проходящей через точку, не лежащую на исходной прямой. Это фундаментальное свойство плоскости в евклидовой геометрии.
Ответ: Верно.

Г

Это полная формулировка аксиомы о параллельных прямых для евклидовой геометрии (в форме аксиомы Плейфера). Она утверждает не только существование, но и единственность такой прямой. То есть, для любой прямой и точки вне ее, существует ровно одна прямая, проходящая через эту точку и параллельная данной.
Ответ: Верно.

Д

Это известная теорема планиметрии. Для любой прямой и любой точки на плоскости (неважно, лежит точка на прямой или нет) существует единственная прямая, которая проходит через эту точку и перпендикулярна данной прямой.
Ответ: Верно.

Е

Это свойство параллельных прямых. Если прямые a и b перпендикулярны прямой c, то они образуют с ней прямые углы. Если бы прямые a и b пересекались, то они вместе с прямой c образовывали бы треугольник, сумма углов которого была бы больше $180^\circ$ (поскольку два угла уже по $90^\circ$), что невозможно в евклидовой геометрии. Следовательно, они не пересекаются, а значит, параллельны.
Ответ: Верно.

Ж

Это свойство называется транзитивностью параллельности. Если прямая a параллельна прямой c, и прямая b также параллельна прямой c, то прямые a и b параллельны между собой. Это следует из аксиомы о параллельных прямых.
Ответ: Верно.

З

Это утверждение следует из аксиомы о том, что через две точки можно провести только одну прямую (пункт А). Если бы две различные прямые имели две общие точки, то это противоречило бы данной аксиоме. Поэтому две различные прямые могут иметь не более одной общей точки.
Ответ: Верно.

И

Утверждение неверно. Две прямые на плоскости могут пересекаться под любым углом, а не только под прямым. Например, они могут пересекаться под углом $30^\circ$ или $60^\circ$. Таким образом, существуют пересекающиеся прямые, которые не являются ни параллельными, ни перпендикулярными.
Ответ: Неверно.

К

Утверждение неверно. Прямые называются перпендикулярными, только если они пересекаются под прямым углом ($90^\circ$). Однако пересекающиеся прямые могут образовывать и острые, и тупые углы. Перпендикулярность — это лишь частный случай пересечения.
Ответ: Неверно.

Л

Это утверждение полностью описывает все возможные взаимные расположения двух различных прямых на плоскости. Они либо не имеют общих точек (и тогда они параллельны), либо имеют одну общую точку (и тогда они пересекаются).
Ответ: Верно.

М

По определению, мера острого угла $\alpha$ находится в пределах $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Мера тупого угла $\beta$ находится в пределах $90^\circ < \beta < 180^\circ$. Сравнивая эти диапазоны, очевидно, что любое число из первого диапазона меньше любого числа из второго.
Ответ: Верно.

Н

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых и расположены друг напротив друга. Они всегда равны. Это доказывается тем, что каждый из вертикальных углов является смежным с одними и теми же углами, и в сумме с ними дает $180^\circ$.
Ответ: Верно.

О

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга (образуют прямую линию). Вместе они образуют развернутый угол, градусная мера которого равна $180^\circ$.
Ответ: Верно.

П

Это определение диаметра. Радиус r — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой. Диаметр d — это хорда, проходящая через центр. Длина диаметра равна двум радиусам: $d = 2r$.
Ответ: Верно.

Р

Так как радиус r для данной окружности является величиной постоянной, а длина любого диаметра этой окружности равна $d = 2r$, то все диаметры одной и той же окружности имеют одинаковую длину.
Ответ: Верно.

С

Утверждение неверно. Вписанный угол может быть острым, прямым или тупым. Его величина равна половине дуги, на которую он опирается. Если угол опирается на диаметр (дуга $180^\circ$), то он прямой ($90^\circ$). Если он опирается на дугу, большую $180^\circ$, то он будет тупым.
Ответ: Неверно.

Т

Это неравенство треугольника — фундаментальная теорема геометрии. Для любого треугольника со сторонами a, b и c выполняются неравенства: $a < b + c$, $b < a + c$, $c < a + b$. Иными словами, длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон.
Ответ: Верно.