Номер 845, страница 170, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

845 Математическое исследование

Прочитай и осмысли определения. Пользуясь ими, выполни задания.

I

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны имеют одинаковую длину.

1) Укажи все равносторонние треугольники на рисунке.

2) Всякий ли треугольник является равносторонним? Начерти несколько равносторонних треугольников и измерь их углы. Сформулируй гипотезу.

3) Начерти равносторонний треугольник и соедини отрезками середины его сторон. Что ты наблюдаешь? Повтори эксперимент ещё несколько раз. Сформулируй гипотезу.

II

Треугольник называется равнобедренным, если хотя бы две из его сторон имеют одинаковую длину.

1) Укажи на рисунке все равнобедренные треугольники.

2) Является ли равнобедренный треугольник равносторонним? Является ли равносторонний треугольник равнобедренным?

3) Построй диаграмму Эйлера – Венна для множеств А, В и С, где А – множество всех треугольников, В – множество равнобедренных треугольников и С – множество равносторонних треугольников.

III

S красивее T $\Leftrightarrow$ S можно перегнуть большим числом способов, чем T, так, чтобы одна часть полностью наложилась на другую (S и T — треугольники).

1) Какой из треугольников на рисунке самый красивый? Самый некрасивый? Какие треугольники красивее — равнобедренные или равносторонние?

2) Дай аналогичное определение для четырёхугольников. Нарисуй четыре четырёхугольника, расположив их по возрастанию красоты.

I

1) Укажи все равносторонние треугольники на рисунке.

Согласно определению, равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. При визуальном осмотре треугольников на рисунке видно, что у треугольников c и d все три стороны выглядят равными.

Ответ: c, d.

2) Всякий ли треугольник является равносторонним? Начерти несколько равносторонних треугольников и измерь их углы. Сформулируй гипотезу.

Нет, не всякий треугольник является равносторонним. На рисунке из предыдущего задания треугольники a, b и e не являются равносторонними, так как их стороны имеют разную длину.

Если начертить равносторонний треугольник и измерить его углы транспортиром, можно обнаружить, что все три угла равны. Поскольку сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, то каждый угол в равностороннем треугольнике будет равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$. Этот результат будет одинаковым для любого равностороннего треугольника, независимо от его размера.

Гипотеза: Все углы равностороннего треугольника равны между собой и составляют $60^\circ$.

Ответ: Не всякий треугольник является равносторонним. Гипотеза: все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$.

3) Начерти равносторонний треугольник и соедини отрезками середины его сторон. Что ты наблюдаешь? Повтори эксперимент ещё несколько раз. Сформулируй гипотезу.

Если начертить равносторонний треугольник и соединить отрезками середины его сторон, то образуется новый, меньший треугольник. Наблюдение показывает, что этот новый треугольник также является равносторонним. Кроме того, исходный треугольник разделяется на четыре маленьких треугольника, и все они выглядят одинаковыми (конгруэнтными) и равносторонними.

Это объясняется свойством средней линии треугольника, которая соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. Если все стороны исходного треугольника равны $s$, то все стороны нового внутреннего треугольника будут равны $s/2$, и он, следовательно, тоже будет равносторонним.

Гипотеза: Треугольник, вершины которого находятся в серединах сторон равностороннего треугольника, также является равносторонним.

Ответ: Гипотеза: при соединении середин сторон равностороннего треугольника образуется новый равносторонний треугольник.

II

1) Укажи на рисунке все равнобедренные треугольники.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого хотя бы две стороны имеют одинаковую длину. На рисунке, относящемся к этому разделу, этому определению соответствуют следующие треугольники:

- Треугольник b: две его боковые стороны выглядят равными.

- Треугольник d: две его боковые стороны выглядят равными.

- Треугольник e: это прямоугольный треугольник, два катета которого выглядят равными, что делает его равнобедренным.

Треугольники a и c выглядят разносторонними, то есть все их стороны имеют разную длину.

Ответ: b, d, e.

2) Является ли равнобедренный треугольник равносторонним? Является ли равносторонний треугольник равнобедренным?

Является ли равнобедренный треугольник равносторонним? Нет, не всегда. Равнобедренный треугольник имеет как минимум две равные стороны. Если третья сторона им не равна, он не будет равносторонним. Например, треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 8 см является равнобедренным, но не равносторонним.

Является ли равносторонний треугольник равнобедренным? Да, всегда. Определение равнобедренного треугольника требует, чтобы были равны хотя бы две стороны. В равностороннем треугольнике равны все три стороны, значит, это условие выполняется. Таким образом, любой равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного.

Ответ: Равнобедренный треугольник не всегда является равносторонним. Равносторонний треугольник всегда является равнобедренным.

3) Построй диаграмму Эйлера – Венна для множеств А, В и С, где А – множество всех треугольников, В – множество равнобедренных треугольников и С – множество равносторонних треугольников.

Для построения диаграммы Эйлера-Венна проанализируем отношения между множествами A, B и C.

- Множество C (равносторонние треугольники) является подмножеством множества B (равнобедренные треугольники), так как каждый равносторонний треугольник также является равнобедренным. Записывается как $C \subset B$.

- Множество B (равнобедренные треугольники) является подмножеством множества A (все треугольники), так как каждый равнобедренный треугольник является треугольником. Записывается как $B \subset A$.

Следовательно, мы имеем цепь вложений: $C \subset B \subset A$.

Диаграмма будет представлять собой три вложенные одна в другую области. Самая большая область A будет содержать внутри себя область B, которая, в свою очередь, будет содержать самую маленькую область C.

Ответ: Диаграмма состоит из трёх вложенных областей. Самая большая область — множество A (все треугольники), внутри неё — область B (равнобедренные треугольники), а внутри B — область C (равносторонние треугольники).

III

1) Какой из треугольников на рисунке самый красивый? Самый некрасивый? Какие треугольники красивее — равнобедренные или равносторонние?

Согласно данному определению, "красота" фигуры определяется количеством её осей симметрии (способов перегнуть её с полным наложением частей).

- Треугольник b (разносторонний) не имеет осей симметрии. Число способов перегнуть — 0.

- Треугольник a (равнобедренный, но не равносторонний) имеет одну ось симметрии, которая является высотой, биссектрисой и медианой, проведенной к основанию. Число способов перегнуть — 1.

- Треугольник c (равносторонний) имеет три оси симметрии, проходящие через каждую вершину и середину противоположной стороны. Число способов перегнуть — 3.

Самый красивый треугольник — тот, у которого больше всего осей симметрии. Это треугольник c (3 оси).

Самый некрасивый треугольник — тот, у которого меньше всего осей симметрии. Это треугольник b (0 осей).

Сравнивая классы треугольников, равносторонние треугольники (3 оси симметрии) красивее, чем равнобедренные (не равносторонние) треугольники (1 ось симметрии), так как $3 > 1$.

Ответ: Самый красивый — c. Самый некрасивый — b. Равносторонние треугольники красивее равнобедренных.

2) Дай аналогичное определение для четырёхугольников. Нарисуй четыре четырёхугольника, расположив их по возрастанию красоты.

Аналогичное определение "красоты" для четырёхугольников:

Четырёхугольник S красивее четырёхугольника T, если S имеет больше осей симметрии, чем T.

Расположим четыре разных типа четырёхугольников по возрастанию их "красоты" (количества осей симметрии):

1. Четырёхугольник общего вида (разносторонний): не имеет осей симметрии. Число осей: 0. Это самый "некрасивый" тип.

2. Равнобедренная трапеция (не прямоугольник): имеет одну ось симметрии, проходящую через середины оснований. Число осей: 1.

3. Ромб (не квадрат): имеет две оси симметрии, которыми являются его диагонали. Число осей: 2.

4. Квадрат: имеет четыре оси симметрии — две диагонали и две линии, проходящие через середины противоположных сторон. Число осей: 4. Это самый "красивый" из четырёхугольников.

Порядок по возрастанию красоты: четырёхугольник общего вида $\rightarrow$ равнобедренная трапеция $\rightarrow$ ромб $\rightarrow$ квадрат.

Ответ: Определение: Четырёхугольник S красивее T, если у S больше осей симметрии, чем у T. Пример расположения по возрастанию красоты (и числу осей симметрии): четырёхугольник общего вида (0), равнобедренная трапеция (1), ромб (2), квадрат (4).