Номер 844, страница 169, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

844 Проведи две параллельные друг другу прямые $AB$ и $CD$ и прямую $KL$, пересекающую их под острым углом в некоторых точках $P$ и $Q$. Какие из углов, образовавшихся на чертеже, могут быть равны? Запиши свои гипотезы в виде равенств. Чем гипотезы отличаются от определений?

Образец: $\angle APK = ...$, $\angle APB = ...$

Проведем две параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $KL$, которая пересекает прямую $AB$ в точке $P$ и прямую $CD$ в точке $Q$. При пересечении образуются 8 углов: четыре у точки $P$ ($\angle APK$, $\angle BPK$, $\angle APL$, $\angle BPL$) и четыре у точки $Q$ ($\angle CQK$, $\angle DQK$, $\angle CQL$, $\angle DQL$). По условию, секущая пересекает прямые под острым углом. Пусть, например, $\angle APK$ будет острым. Тогда равными могут быть следующие группы углов.

Какие из углов, образовавшихся на чертеже, могут быть равны? Запиши свои гипотезы в виде равенств.

Гипотезы о равенстве углов можно сгруппировать на основе их взаимного расположения. Эти равенства следуют из свойств параллельных прямых и секущей.

1. Вертикальные углы, образующиеся при пересечении двух прямых, равны.

• В точке $P$: $\angle APK = \angle BPL$ и $\angle APL = \angle BPK$.
• В точке $Q$: $\angle CQK = \angle DQL$ и $\angle CQL = \angle DQK$.

2. Накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущей равны.

• Внутренние накрест лежащие углы: $\angle APL = \angle DQK$ и $\angle BPL = \angle CQK$.
• Внешние накрест лежащие углы: $\angle APK = \angle DQL$ и $\angle BPK = \angle CQL$.

3. Соответственные углы при пересечении двух параллельных прямых секущей равны.

• $\angle APK = \angle CQK$
• $\angle BPK = \angle DQK$
• $\angle APL = \angle CQL$
• $\angle BPL = \angle DQL$

Таким образом, все острые углы на чертеже равны между собой, и все тупые углы также равны между собой.

Ответ: Равными могут быть следующие углы:
1. Вертикальные: $\angle APK = \angle BPL$; $\angle APL = \angle BPK$; $\angle CQK = \angle DQL$; $\angle CQL = \angle DQK$.
2. Накрест лежащие: $\angle APL = \angle DQK$; $\angle BPL = \angle CQK$.
3. Соответственные: $\angle APK = \angle CQK$; $\angle BPK = \angle DQK$; $\angle APL = \angle CQL$; $\angle BPL = \angle DQL$.

Чем гипотезы отличаются от определений?

Различие между гипотезой и определением заключается в их природе и функции в познании.

Определение — это соглашение, которое вводит новый термин или понятие, давая ему точное и однозначное толкование. Определение не требует доказательства, оно просто устанавливает значение слова или символа. Например, «Два угла называются вертикальными, если стороны одного являются продолжением сторон другого» — это определение. Мы договариваемся называть такие углы вертикальными.

Гипотеза — это предположение или догадка, которая выдвигается для объяснения некоторого явления и требует проверки или доказательства. Гипотеза — это утверждение, про которое мы еще не знаем, истинно оно или ложно. Наблюдая за чертежом, мы можем выдвинуть гипотезу: «Вертикальные углы равны». Чтобы это утверждение стало научным фактом (в математике — теоремой), его необходимо доказать, опираясь на аксиомы и ранее доказанные утверждения.

Ответ: Основное отличие в том, что определение вводит понятие и не доказывается (это договорённость), а гипотеза — это предположение о свойстве объекта, которое требует проверки и доказательства. Если гипотезу доказать, она становится теоремой.