Номер 840, страница 168, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

840 Сколько ты видишь на рисунке острых углов, прямых углов, тупых углов, развёрнутых углов, пар смежных углов, вертикальных углов? Назови углы и найди сумму полученных чисел.

a) Линии: AB, CF, DE. Точка пересечения: O. Отмеченный прямой угол: $ \angle EOB $.

Точки: A, B, C, D, E, F, O.

б) Линии: AC, DE. Луч: OB. Точка пересечения линий: O. Отмеченный прямой угол: $ \angle DOB $.

Точки: A, B, C, D, E, O.

в) Линии: EN, FK, BM.

Точка пересечения EN и FK: A.

Точка пересечения EN и BM: B.

Точка пересечения FK и BM: F.

Отмеченный прямой угол: $ \angle BFK $.

Точки: E, N, B, T, A, M, C, F, K.

а)

На рисунке а) изображены две пересекающиеся в точке O прямые AB и CD и луч OE, выходящий из точки O. Угол $∠AOE$ отмечен как прямой, следовательно, $∠AOE = 90°$.

• Острые углы: 3. Это углы $∠AOC$, $∠BOD$ (как вертикальный к $∠AOC$) и $∠COE$. Угол $∠COE$ является острым, так как $∠COE = ∠AOE - ∠AOC = 90° - ∠AOC$.
• Прямые углы: 2. Это $∠AOE$ (по условию) и $∠EOB$ (поскольку он смежный с $∠AOE$ на прямой AB, $∠EOB = 180° - ∠AOE = 180° - 90° = 90°$).
• Тупые углы: 3. Это $∠AOD$ (смежный с острым углом $∠AOC$), $∠BOC$ (вертикальный к $∠AOD$) и $∠EOD$ (равен $∠EOB + ∠BOD = 90° + ∠BOD$, где $∠BOD$ - острый).
• Развёрнутые углы: 2. Это $∠AOB$ и $∠COD$, образованные прямыми AB и CD.
• Пары смежных углов: 6. Смежные углы — это пары углов, которые имеют общую сторону, а две другие их стороны являются продолжениями друг друга (в сумме дают $180°$). Это пары: ($∠AOC$, $∠BOC$), ($∠AOD$, $∠BOD$), ($∠AOC$, $∠AOD$), ($∠BOC$, $∠BOD$), ($∠AOE$, $∠BOE$), ($∠COE$, $∠DOE$).
• Пары вертикальных углов: 2. Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Это пары: ($∠AOC$, $∠BOD$) и ($∠AOD$, $∠BOC$).

Сумма полученных чисел: $3 + 2 + 3 + 2 + 6 + 2 = 18$.

Ответ: 18.

б)

На рисунке б) изображены две прямые AC и BD, пересекающиеся в точке O, и луч OE. Угол $∠BOC$ отмечен как прямой, что означает $AC ⊥ BD$. Луч OE находится внутри угла $∠BOC$.

• Острые углы: 2. Так как луч OE делит прямой угол $∠BOC$, он образует два острых угла: $∠BOE$ и $∠EOC$.
• Прямые углы: 4. Это углы $∠BOC$ (по условию), $∠AOD$ (вертикальный к $∠BOC$), $∠AOB$ (смежный с $∠BOC$) и $∠COD$ (смежный с $∠BOC$).
• Тупые углы: 2. Это углы $∠AOE$ (равен $∠AOB + ∠BOE = 90° + ∠BOE$) и $∠DOE$ (равен $∠DOC + ∠COE = 90° + ∠COE$).
• Развёрнутые углы: 2. Это $∠AOC$ и $∠BOD$, образованные прямыми AC и BD.
• Пары смежных углов: 6. Это пары: ($∠AOB$, $∠BOC$), ($∠BOC$, $∠COD$), ($∠COD$, $∠DOA$), ($∠DOA$, $∠AOB$), ($∠AOE$, $∠COE$), ($∠BOE$, $∠DOE$).
• Пары вертикальных углов: 2. Это пары, образованные пересечением прямых AC и BD: ($∠AOB$, $∠COD$) и ($∠BOC$, $∠AOD$).

Сумма полученных чисел: $2 + 4 + 2 + 2 + 6 + 2 = 18$.

Ответ: 18.

в)

На рисунке в) изображены две пересекающиеся в точке C прямые EN и MK. Точка T лежит на прямой EN, а точка A — на прямой MK. Отрезок TA перпендикулярен прямой MK ($TA ⊥ MK$), образуя прямые углы. Точки B и F лежат на прямых EN и MK соответственно, образуя треугольник BFC.

• Острые углы: 6. При пересечении прямых в точке C образуются острые углы $∠ECF$ (или $∠BCA$) и вертикальный ему $∠NCK$. В прямоугольном треугольнике ATC ($∠TAC=90°$) угол $∠ATC$ — острый. Угол $∠BFC$ в треугольнике BFC по рисунку острый. Угол $∠EBF$ смежный с тупым углом $∠FBC$, поэтому он острый. Угол $∠FBN$ вертикален $∠EBF$, поэтому тоже острый. Итого: $∠ECF$, $∠NCK$, $∠ATC$, $∠BFC$, $∠EBF$, $∠FBN$.
• Прямые углы: 2. Так как $TA ⊥ MK$, углы $∠TAC$ (или $∠TAK$) и $∠TAM$ (или $∠TAF$) являются прямыми.
• Тупые углы: 6. При пересечении прямых в точке C образуются тупые углы $∠FCN$ и $∠ECK$. Угол $∠ETC$ смежный с острым $∠ATC$, поэтому он тупой. Угол $∠FBC$ в треугольнике BFC по рисунку тупой. Угол $∠MFB$ смежный с острым $∠BFC$, поэтому он тупой. Угол $∠KFC$ вертикален $∠MFB$ и также является тупым. Итого: $∠FCN$, $∠ECK$, $∠ETC$, $∠FBC$, $∠MFB$, $∠KFC$.
• Развёрнутые углы: 2. Это $∠ECN$ и $∠MCK$, образованные прямыми EN и MK.
• Пары смежных углов: 8. В точке C: ($∠ECF$, $∠FCN$), ($∠ECK$, $∠NCK$), ($∠ECF$, $∠ECK$), ($∠FCN$, $∠NCK$). В точке A: ($∠TAC$, $∠TAM$). В точке T: ($∠ATC$, $∠ETC$). В точке B: ($∠EBF$, $∠FBC$). В точке F: ($∠MFB$, $∠BFC$).
• Пары вертикальных углов: 2. Образованы пересечением прямых EN и MK в точке C: ($∠ECF$, $∠NCK$) и ($∠FCN$, $∠ECK$).

Сумма полученных чисел: $6 + 2 + 6 + 2 + 8 + 2 = 26$.

Ответ: 26.