Номер 833, страница 167, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

833 Запиши определения квадратного корня и точного квадрата числа с помощью знаков $ \Leftrightarrow $ и $ \exists $.

Определение квадратного корня

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ (обозначается как $\sqrt{a}$) называется такое неотрицательное число $b$, квадрат которого равен $a$.

Это определение формулируется с помощью знака равносильности (логической эквивалентности) $\Leftrightarrow$, который читается как "тогда и только тогда". Утверждение, что $b$ является арифметическим квадратным корнем из $a$, равносильно одновременному выполнению двух условий: число $b$ должно быть неотрицательным ($b \ge 0$), и его квадрат должен быть равен $a$ ($b^2 = a$).

Ответ: $(\sqrt{a} = b) \Leftrightarrow (b^2 = a \land b \ge 0)$.

Определение точного квадрата числа

Число $a$ называется точным квадратом (или полным квадратом), если оно является квадратом некоторого целого числа.

Это определение можно записать с помощью знака равносильности $\Leftrightarrow$ и квантора существования $\exists$ (читается "существует"). Утверждение "число $a$ является точным квадратом" равносильно утверждению "существует такое целое число $k$, что $a$ равно $k^2$". Множество целых чисел обозначается символом $\mathbb{Z}$.

Ответ: $(a \text{ — точный квадрат}) \Leftrightarrow (\exists k \in \mathbb{Z} : a = k^2)$.