Номер 831, страница 166, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

831 Натуральное число $a$ называется точным квадратом, если существует квадратный корень из числа $a$, являющийся натуральным числом.

а) Приведи несколько примеров точных квадратов и примеров чисел, не являющихся точными квадратами.

б) Перечисли все точные квадраты среди первых 100 натуральных чисел.

а) Согласно определению, натуральное число a называется точным квадратом, если существует такое натуральное число n, что $a = n^2$. Это равносильно тому, что квадратный корень из числа a является натуральным числом ($\sqrt{a} = n$).

Примеры точных квадратов:
4 является точным квадратом, так как $4 = 2^2$ и $\sqrt{4} = 2$.
25 является точным квадратом, так как $25 = 5^2$ и $\sqrt{25} = 5$.
81 является точным квадратом, так как $81 = 9^2$ и $\sqrt{81} = 9$.

Примеры чисел, не являющихся точными квадратами:
2 не является точным квадратом, так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, что не является натуральным числом.
10 не является точным квадратом, так как не существует натурального числа, квадрат которого равен 10 (ближайшие квадраты $3^2=9$ и $4^2=16$).
50 не является точным квадратом, так как не существует натурального числа, квадрат которого равен 50 (ближайшие квадраты $7^2=49$ и $8^2=64$).

Ответ: Примеры точных квадратов: 4, 25, 81. Примеры чисел, не являющихся точными квадратами: 2, 10, 50.

б) Чтобы перечислить все точные квадраты среди первых 100 натуральных чисел, мы должны найти все натуральные числа, квадраты которых не превышают 100. Для этого будем последовательно возводить в квадрат натуральные числа, начиная с 1.

$1^2 = 1$
$2^2 = 4$
$3^2 = 9$
$4^2 = 16$
$5^2 = 25$
$6^2 = 36$
$7^2 = 49$
$8^2 = 64$
$9^2 = 81$
$10^2 = 100$

Следующий квадрат, $11^2 = 121$, уже больше 100, поэтому мы нашли все точные квадраты в заданном диапазоне.

Ответ: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.