Номер 832, страница 166, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

832 Какие из следующих чисел являются точными квадратами?

1) 169, 625, 1024, 9801, 10 201;

2) 42 235, 354913, 8977 834;

3) 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1 миллион, 1 миллиард, 9 миллиардов;

4) 1000 ... 0 (100 нулей, 2007 нулей, 2008 нулей, $n$ нулей);

5) 121, 12321, 1234321, 123 454 321, ..., 12 345 678 987654321.

1)

Проверим каждое число на предмет того, является ли оно точным квадратом:
• $169 = 13^2$. Является точным квадратом.
• $625 = 25^2$. Является точным квадратом.
• $1024 = 32^2$. Является точным квадратом.
• $9801 = 99^2$, что можно проверить по формуле $(100-1)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$. Является точным квадратом.
• $10201 = 101^2$, что можно проверить по формуле $(100+1)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$. Является точным квадратом.
Все числа в этом списке являются точными квадратами.

Ответ: 169, 625, 1024, 9801, 10 201.

2)

Воспользуемся свойствами точных квадратов для быстрой проверки:
• $42 235$: Точный квадрат целого числа не может оканчиваться на 35. Если квадрат числа оканчивается на 5, то он должен оканчиваться на 25. Следовательно, это не точный квадрат.
• $354 913$: Точный квадрат целого числа не может оканчиваться на цифры 2, 3, 7, 8. Данное число оканчивается на 3. Следовательно, это не точный квадрат.
• $8 977 834$: Если точный квадрат оканчивается на 4, то его предпоследняя цифра (в разряде десятков) должна быть четной. В данном числе предпоследняя цифра – 3 (нечетная). Следовательно, это не точный квадрат.
Ни одно из чисел в этом списке не является точным квадратом.

Ответ: ни одно из этих чисел не является точным квадратом.

3)

Проанализируем числа, являющиеся степенями 10 или их производными. Число вида $10^k$ является точным квадратом тогда и только тогда, когда показатель $k$ (количество нулей) четный.
• $10 = 10^1$ (1 нуль - нечетное количество). Не является точным квадратом.
• $100 = 10^2$ (2 нуля - четное количество). Является точным квадратом ($10^2$).
• $1000 = 10^3$ (3 нуля - нечетное количество). Не является точным квадратом.
• $10 000 = 10^4$ (4 нуля - четное количество). Является точным квадратом ($100^2$).
• $100 000 = 10^5$ (5 нулей - нечетное количество). Не является точным квадратом.
• $1$ миллион = $1 000 000 = 10^6$ (6 нулей - четное количество). Является точным квадратом ($1000^2$).
• $1$ миллиард = $1 000 000 000 = 10^9$ (9 нулей - нечетное количество). Не является точным квадратом.
• $9$ миллиардов = $9 \cdot 10^9$. Число 9 является точным квадратом ($3^2$), но $10^9$ нет, так как количество нулей в нем нечетное. Произведение не является точным квадратом.

Ответ: 100, 10 000, 1 миллион.

4)

Число, состоящее из единицы и следующего за ней набора нулей, можно представить в виде $10^k$, где $k$ — это количество нулей. Такое число является точным квадратом, если $k$ — четное число.
• Число со $100$ нулями ($10^{100}$): 100 — четное число, значит, это точный квадрат ($(10^{50})^2$).
• Число с $2007$ нулями ($10^{2007}$): 2007 — нечетное число, значит, это не точный квадрат.
• Число с $2008$ нулями ($10^{2008}$): 2008 — четное число, значит, это точный квадрат ($(10^{1004})^2$).
• Число с $n$ нулями ($10^n$): будет точным квадратом, если и только если $n$ — четное число.

Ответ: число со 100 нулями, число с 2008 нулями и число с $n$ нулями при условии, что $n$ - четное число.

5)

Все числа в этом списке представляют собой известную последовательность палиндромных чисел, которые являются квадратами чисел, состоящих из одних единиц (репьюнитов).
$11^2 = 121$
$111^2 = 12321$
$1111^2 = 1234321$
Эта закономерность (цифры числа сначала возрастают до $k$, а затем убывают до 1) справедлива для квадратов чисел из $k$ единиц для $k \le 9$.
Все числа в списке, включая те, что подразумеваются многоточием, и последнее число, следуют этому правилу:
• $121 = 11^2$
• $12 321 = 111^2$
• $1 234 321 = 1111^2$
• $123 454 321 = 11111^2$
• ...
• $12 345 678 987 654 321 = 111 111 111^2$
Таким образом, все числа в этой последовательности являются точными квадратами.

Ответ: все числа в этом списке являются точными квадратами.