Номер 827, страница 166, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

827 Какие из следующих высказываний истинны:

1) $\exists x \in N: 3x - 5 = 14;$

2) $\exists x \in N: 3x - 5 = 1444;$

3) $\exists x \in N: 3x - 5 = 1445;$

4) $\exists m \in N: m^2 = 49;$

5) $\exists n \in N: n^2 = 32;$

6) $\exists m, n \in N: m^2 + n^2 = 25?$

1) ∃x ∈ N: 3x - 5 = 14;

Чтобы проверить истинность высказывания, решим уравнение относительно переменной $x$ и определим, принадлежит ли корень множеству натуральных чисел $N$.

$3x - 5 = 14$

$3x = 14 + 5$

$3x = 19$

$x = 19/3$

Полученное значение $x = 19/3$ не является целым числом, и, следовательно, не является натуральным числом ($N = \{1, 2, 3, ...\}$). Таким образом, не существует натурального числа $x$, удовлетворяющего данному уравнению.

Ответ: высказывание ложно.

2) ∃x ∈ N: 3x - 5 = 1444;

Решим уравнение относительно $x$:

$3x - 5 = 1444$

$3x = 1444 + 5$

$3x = 1449$

Чтобы проверить, является ли $x$ целым числом, нужно проверить, делится ли 1449 на 3. Используем признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3.

Сумма цифр числа 1449: $1 + 4 + 4 + 9 = 18$.

Так как 18 делится на 3, то и число 1449 делится на 3.

$x = 1449 / 3 = 483$

Число 483 является натуральным числом ($483 \in N$). Следовательно, существует такое натуральное число $x$.

Ответ: высказывание истинно.

3) ∃x ∈ N: 3x - 5 = 1445;

Решим уравнение относительно $x$:

$3x - 5 = 1445$

$3x = 1445 + 5$

$3x = 1450$

Проверим делимость числа 1450 на 3. Сумма цифр: $1 + 4 + 5 + 0 = 10$.

Так как 10 не делится на 3, то и число 1450 не делится на 3. Значение $x = 1450/3$ не является целым числом, а значит, и не натуральным.

Ответ: высказывание ложно.

4) ∃m ∈ N: m² = 49;

Решим уравнение относительно $m$:

$m^2 = 49$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$m = \pm\sqrt{49}$

$m = 7$ или $m = -7$.

Из двух корней, $m = 7$ является натуральным числом ($7 \in N$). Следовательно, искомое натуральное число $m$ существует.

Ответ: высказывание истинно.

5) ∃n ∈ N: n² = 32;

Решим уравнение относительно $n$:

$n^2 = 32$

$n = \pm\sqrt{32}$

Число 32 не является полным квадратом целого числа (так как $5^2=25$ и $6^2=36$). Поэтому $\sqrt{32}$ является иррациональным числом. Следовательно, не существует натурального числа $n$, квадрат которого равен 32.

Ответ: высказывание ложно.

6) ∃m, n ∈ N: m² + n² = 25?

Необходимо проверить, существует ли пара натуральных чисел $(m, n)$, удовлетворяющая уравнению. Так как $m, n \in N$, то $m \ge 1$ и $n \ge 1$. Это означает, что $m^2 \ge 1$ и $n^2 \ge 1$.

Будем перебирать возможные натуральные значения для $m$ и проверять, получается ли для $n$ натуральное число.

Если $m=1$: $1^2 + n^2 = 25 \Rightarrow n^2 = 24$. $n = \sqrt{24}$, не натуральное число.

Если $m=2$: $2^2 + n^2 = 25 \Rightarrow 4 + n^2 = 25 \Rightarrow n^2 = 21$. $n = \sqrt{21}$, не натуральное число.

Если $m=3$: $3^2 + n^2 = 25 \Rightarrow 9 + n^2 = 25 \Rightarrow n^2 = 16$. $n = \sqrt{16} = 4$. Число 4 является натуральным. Таким образом, пара $(m, n) = (3, 4)$ является решением.

Поскольку мы нашли хотя бы одну пару натуральных чисел, удовлетворяющую уравнению, дальнейший перебор не обязателен для подтверждения истинности высказывания. (Для полноты картины, если $m=4$, то $n=3$, что также является решением. Если $m \ge 5$, то $m^2 \ge 25$, и для $n \in N$ равенство $m^2+n^2=25$ невозможно).

Ответ: высказывание истинно.