Номер 823, страница 165, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

К 823

1) Прочитай в тексте учебника примеры определений. Какие «новые» слова в них объясняются? Какие «старые», уже известные слова для этого используются?

2) Сформулируй определение «брата» (в простейшем смысле — «родного брата»), используя в качестве известных слов «родители» и «мужчина». Приведи различные формулировки.

3) Сформулируй разными способами определение «делителя» и запиши его с помощью знака равносильности и символа $ \exists $.

1)

В любом определении «новое» слово (понятие) вводится и объясняется через «старые», то есть уже известные и понятные слова (понятия). Таким образом, мы строим систему знаний, где более сложные концепции основываются на более простых.

Рассмотрим примеры, которые могли бы быть в учебнике:

Пример 1: Определение отрезка.

«Отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками».

• «Новое» слово, которое объясняется: отрезок.
• «Старые», уже известные слова, используемые для объяснения: часть, прямая, точка.

Пример 2: Определение простого числа.

«Простым числом называется натуральное число, большее единицы, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя».

• «Новое» слово: простое число.
• «Старые» слова: натуральное число, единица, делитель, больше.

Ответ: «Новые» слова — это термины, которым даётся определение (например, отрезок, простое число). «Старые» слова — это уже известные понятия, через которые даётся определение нового термина (например, прямая, точка, натуральное число, делитель).

2)

Чтобы сформулировать определение «брата» (в значении «родной брат»), нужно связать это понятие с уже известными словами «родители» и «мужчина». Брат — это всегда мужчина, и его родство определяется через общих родителей с кем-либо. Вот несколько вариантов формулировок:

• Формулировка 1 (самая общая): Брат — это мужчина по отношению к другому ребёнку (или детям) своих родителей.
• Формулировка 2 (через условие): Если у двух людей общие родители и один из этих людей — мужчина, то он является братом для другого.
• Формулировка 3 (логическая): Человек X является братом для человека Y, если и только если X — мужчина, и множество родителей человека X совпадает с множеством родителей человека Y.

Ответ: Различные формулировки определения «брата» с использованием слов «родители» и «мужчина»:
1. Брат – это мужчина, который имеет общих родителей с другим человеком (его сестрой или братом).
2. Если у двух человек одни и те же родители, то тот из них, кто является мужчиной, — брат другого.
3. Человек является чьим-то братом, если он мужчина и у них общие родители.

3)

Определение понятия «делитель» можно сформулировать разными способами. Будем рассматривать натуральные числа (целые положительные числа). Пусть даны два натуральных числа $a$ и $b$.

Способ 1 (через операцию деления):
Число $a$ называется делителем числа $b$, если число $b$ делится на число $a$ нацело, то есть без остатка.

Способ 2 (через операцию умножения):
Число $a$ называется делителем числа $b$, если существует такое натуральное число $k$, что выполняется равенство $b = a \cdot k$.

Второй способ удобнее для записи с помощью логических символов. В задании требуется использовать знак равносильности $⇔$ и символ «Э». Символ «Э», скорее всего, обозначает квантор существования $∃$ (читается «существует»).

Используя вторую формулировку, запишем определение формально:

(Число $a$ является делителем числа $b$) $⇔$ ($∃k \in \mathbb{N}$) ($b = a \cdot k$)

Эта запись читается: «Утверждение „число $a$ является делителем числа $b$“ истинно тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число $k$, что $b$ равно произведению $a$ на $k$».

Ответ:
Словесные формулировки:
1. Делитель числа — это такое число, на которое исходное число делится без остатка.
2. Делителем числа $b$ называется число $a$, для которого найдётся такое число $k$, что $b = a \cdot k$.
Запись с помощью символов:
( $a$ является делителем $b$ ) $⇔$ ( $∃k \in \mathbb{N}$ ) ( $b = a \cdot k$ )