Номер 821, страница 163, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

821. Расшифруй ребус $(\text{АР})^\text{М} = \text{МИР}$, если одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, а разными – разные.

Данный ребус представляет собой математическое уравнение $(АР)^М = МИР$, где каждая буква заменяет одну цифру от 0 до 9. Одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, а разные — разным.

Исходя из условия, можно сформулировать следующие ограничения:
- А, Р, М, И — это четыре различные цифры.
- АР — это двузначное число, что означает $А \ne 0$ и $10 \le АР \le 99$.
- МИР — это трёхзначное число, что означает $М \ne 0$ и $100 \le МИР \le 999$.

Шаг 1: Анализ показателя степени М

Рассмотрим возможные значения для цифры М. Поскольку М — первая цифра трёхзначного числа, $М \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

- Если $М = 1$, то уравнение принимает вид $(АР)^1 = 1ИР$, или $АР = 1ИР$. Это равенство невозможно, так как двузначное число не может быть равно трёхзначному.

- Если $М \ge 3$, то рассмотрим наименьшее возможное значение основания степени АР. Так как АР — двузначное число, его минимальное значение равно 10. Тогда $(АР)^М \ge 10^М$.
При $М=3$ имеем $(АР)^3 \ge 10^3 = 1000$.
При $М > 3$ результат будет ещё больше.
В любом из этих случаев результат возведения в степень будет числом, состоящим как минимум из четырёх цифр. Однако, МИР — это трёхзначное число ($МИР \le 999$). Следовательно, равенство $(АР)^М = МИР$ при $М \ge 3$ невозможно.

- Таким образом, единственно возможным значением для М является $М=2$.

Шаг 2: Решение уравнения при М = 2

Подставив $М=2$ в исходное уравнение, получаем: $(АР)^2 = 2ИР$.

Из этого уравнения следует, что результат возведения в квадрат, $(АР)^2$, является трёхзначным числом, начинающимся с цифры 2. Это означает, что $(АР)^2$ находится в диапазоне от 200 до 299.

$200 \le (АР)^2 \le 299$.

Чтобы найти возможные значения для АР, извлечём квадратный корень из границ этого диапазона:

$\sqrt{200} \approx 14.14$ и $\sqrt{299} \approx 17.29$.

Поскольку АР — целое двузначное число, его возможными значениями являются 15, 16 и 17. Проверим последовательно каждый из этих вариантов.

Проверка варианта АР = 15
В этом случае $А=1$ и $Р=5$.
Возводим в квадрат: $15^2 = 225$.
Следовательно, $МИР = 225$, откуда получаем $М=2, И=2, Р=5$.
Проверяем условие уникальности цифр: $А=1, Р=5, М=2, И=2$. Цифры М и И одинаковы ($М=И=2$), что противоречит условию. Этот вариант не подходит.

Проверка варианта АР = 16
В этом случае $А=1$ и $Р=6$.
Возводим в квадрат: $16^2 = 256$.
Следовательно, $МИР = 256$, откуда получаем $М=2, И=5, Р=6$.
Проверяем условие уникальности цифр: $А=1, Р=6, М=2, И=5$. Все четыре цифры различны. Это соответствует условию.

Также значение М, полученное из результата ($М=2$), совпадает со значением, которое мы определили на первом шаге. Все условия выполнены.

Проверка варианта АР = 17
В этом случае $А=1$ и $Р=7$.
Возводим в квадрат: $17^2 = 289$.
Следовательно, $МИР = 289$, откуда получаем $М=2, И=8, Р=9$.
Однако, из нашего предположения $АР = 17$ следует, что $Р=7$, а из результата $МИР=289$ мы получили $Р=9$. Это противоречие ($Р=7$ и $Р=9$). Этот вариант не подходит.

Таким образом, ребус имеет единственное решение, которое было найдено при проверке второго варианта.
Ответ: $А=1, Р=6, М=2, И=5$. Расшифрованный ребус: $(16)^2 = 256$.