Номер 820, страница 162, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

* 820 Из арифметики Л. Ф. Магницкого (1703 г.)

Спросил некто учителя: «Сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына?» Учитель ответил: «Если придёт ещё учеников столько же, сколько имею, и полстолько, и четвёртая часть, и твой сын, тогда будет у меня учеников 100». Спрашивается: сколько было у учителя учеников?

Для решения этой задачи из "Арифметики" Л. Ф. Магницкого, обозначим первоначальное количество учеников в классе за $x$.

Учитель в своем ответе перечисляет несколько групп учеников, которые должны прийти, чтобы их общее число стало 100. Давайте разберем его слова и составим уравнение:

Первоначальное количество учеников: $x$.

К ним придет "ещё учеников столько же, сколько имею": еще $x$ учеников.

"и полстолько": еще $\frac{1}{2}x$ учеников.

"и четвёртая часть": еще $\frac{1}{4}x$ учеников.

"и твой сын": еще 1 ученик.

Сумма всех этих учеников должна быть равна 100. Запишем это в виде уравнения:

$x + x + \frac{x}{2} + \frac{x}{4} + 1 = 100$

Теперь решим это уравнение шаг за шагом.
1. Упростим левую часть, сложив $x$ и $x$, и перенесем 1 в правую часть с противоположным знаком:

$2x + \frac{x}{2} + \frac{x}{4} = 100 - 1$
$2x + \frac{x}{2} + \frac{x}{4} = 99$

2. Чтобы сложить слагаемые с $x$, приведем их к общему знаменателю, который равен 4:

$\frac{2x \cdot 4}{4} + \frac{x \cdot 2}{4} + \frac{x}{4} = 99$
$\frac{8x}{4} + \frac{2x}{4} + \frac{x}{4} = 99$

3. Сложим дроби в левой части:

$\frac{8x + 2x + x}{4} = 99$
$\frac{11x}{4} = 99$

4. Теперь найдем $x$. Для этого умножим обе части уравнения на 4:

$11x = 99 \cdot 4$
$11x = 396$

5. Разделим обе части на 11:

$x = \frac{396}{11}$
$x = 36$

Таким образом, мы нашли, что у учителя изначально было 36 учеников.

Выполним проверку, подставив найденное значение в условие:
Изначальные ученики (36) + столько же (36) + полстолько ($\frac{36}{2}=18$) + четвертая часть ($\frac{36}{4}=9$) + сын (1) = $36 + 36 + 18 + 9 + 1 = 100$.
Расчет верен.

Ответ: у учителя было 36 учеников.