Номер 813, страница 161, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

813 Какие из следующих утверждений верны?

1) $a - b = c \Leftrightarrow c + a = b.$

2) $a-b=c \Leftrightarrow c + b = a.$

3) Число $x$ в 2 раза больше $y \Leftrightarrow x = y + 2.$

4) Число $x$ в 2 раза больше $y \Leftrightarrow x = 2y.$

5) Число $d$ составляет $\frac{2}{7}$ числа $k \Leftrightarrow d=k:2 \cdot 7.$

6) Число $m$ составляет $30 \%$ числа $n \Leftrightarrow m=n:100 \cdot 30.$

7) $5 \in A \cap B \Leftrightarrow 5 \in A$ и $5 \in B.$

8) $x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A$ или $x \in B.$

9) Прямые $l$ и $p$ параллельны $\Leftrightarrow$ Прямые $l$ и $p$ не имеют общих точек.

10) Прямые $l$ и $p$ перпендикулярны $\Leftrightarrow$ Прямые $l$ и $p$ пересекаются.

11) $3(x + 1) = 2x + 5 \Leftrightarrow 3x + 3 = 2x + 5.$

12) $4x + 3 = 7 \Leftrightarrow x = 1.$

1) Утверждение $a - b = c \Leftrightarrow c + a = b$ неверно.

Рассмотрим левую часть $a - b = c$. Подставим это значение $c$ в правую часть: $(a - b) + a = b$, что приводит к $2a - b = b$, и далее к $2a = 2b$, или $a = b$. Это равенство выполняется только в частном случае, а не для любых $a, b, c$. Например, если $a=5, b=2$, то $c=3$. Проверяем правую часть: $c+a = 3+5=8$, что не равно $b=2$. Следовательно, утверждение ложно.
Ответ: Неверно.

2) Утверждение $a - b = c \Leftrightarrow c + b = a$ верно.

Это основное свойство вычитания. Если из равенства $a - b = c$ выразить $a$, нужно перенести $b$ в правую часть, сменив знак: $a = c + b$. Это то же самое, что $c + b = a$. Преобразование является равносильным, поэтому утверждение истинно.
Ответ: Верно.

3) Утверждение "Число х в 2 раза больше у $\Leftrightarrow x = y + 2$" неверно.

Фраза "в 2 раза больше" означает умножение, то есть $x = 2y$. Выражение $x = y + 2$ означает "x на 2 больше, чем y". Это разные математические отношения. Например, если $y=4$, то $x$ в 2 раза больше – это $8$, а $x$ на 2 больше – это $6$.
Ответ: Неверно.

4) Утверждение "Число х в 2 раза больше у $\Leftrightarrow x = 2y$" верно.

Это является точным математическим выражением словесной формулировки "в 2 раза больше".
Ответ: Верно.

5) Утверждение "Число d составляет $\frac{2}{7}$ числа k $\Leftrightarrow d = k : 2 \cdot 7$" неверно.

"Число d составляет $\frac{2}{7}$ числа k" означает $d = \frac{2}{7} \cdot k$. Выражение же $d = k : 2 \cdot 7$ при стандартном порядке действий вычисляется как $(k / 2) \cdot 7 = \frac{7}{2} \cdot k$. Так как $\frac{2}{7} \neq \frac{7}{2}$, утверждение ложно.
Ответ: Неверно.

6) Утверждение "Число m составляет 30 % числа n $\Leftrightarrow m = n : 100 \cdot 30$" верно.

Чтобы найти процент от числа, нужно это число разделить на 100 и умножить на количество процентов. Формула $m = (n/100) \cdot 30$ в точности это и описывает.
Ответ: Верно.

7) Утверждение $5 \in A \cap B \Leftrightarrow 5 \in A \text{ и } 5 \in B$ верно.

Это определение операции пересечения множеств. Элемент принадлежит пересечению двух множеств ($A \cap B$) тогда и только тогда, когда он принадлежит обоим этим множествам одновременно.
Ответ: Верно.

8) Утверждение $x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A \text{ или } x \in B$ верно.

Это определение операции объединения множеств. Элемент принадлежит объединению двух множеств ($A \cup B$) тогда и только тогда, когда он принадлежит хотя бы одному из этих множеств.
Ответ: Верно.

9) Утверждение "Прямые l и p параллельны $\Leftrightarrow$ Прямые l и p не имеют общих точек" верно.

В евклидовой геометрии на плоскости это является определением параллельных прямых. (Примечание: если прямые совпадают, их иногда считают параллельными, и тогда у них бесконечно много общих точек. Но в стандартном школьном определении параллельные прямые не совпадают и не пересекаются).
Ответ: Верно.

10) Утверждение "Прямые l и p перпендикулярны $\Leftrightarrow$ Прямые l и p пересекаются" неверно.

Из того, что прямые перпендикулярны, следует, что они пересекаются (под прямым углом). Однако обратное неверно: если прямые пересекаются, они не обязательно перпендикулярны, так как могут пересекаться под любым другим углом. Для эквивалентности ($\Leftrightarrow$) утверждение должно быть верным в обе стороны.
Ответ: Неверно.

11) Утверждение $3(x + 1) = 2x + 5 \Leftrightarrow 3x + 3 = 2x + 5$ верно.

Второе уравнение получено из первого путем применения распределительного закона умножения (раскрытия скобок): $3 \cdot x + 3 \cdot 1 = 3x + 3$. Это равносильное преобразование, которое не изменяет множество корней уравнения.
Ответ: Верно.

12) Утверждение $4x + 3 = 7 \Leftrightarrow x = 1$ верно.

Решим уравнение $4x + 3 = 7$:

$4x = 7 - 3$ $4x = 4$ $x = 1$

Уравнение имеет единственный корень $x=1$, поэтому данные утверждения эквивалентны.
Ответ: Верно.