Номер 812, страница 161, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

812 Докажи с помощью контрпримера, что следующие утверждения не являются равносильными.

а) «Все кошки четвероногие» и «Все четвероногие – кошки».

б) «Число х делится на 2» и «Число х оканчивается на 2».

в) «Число х оканчивается на 7» и «Число х делится на 7».

г) «Число а делится на b» и «Число b делится на а».

д) «Сумма чисел а и b делится на c» и «Одно из чисел а и b делится на c».

е) «Произведение ab делится на c» и «Одно из чисел а и b делится на c».

ж) «$x^2 - 1 = 8$» и «$x + 2 = 7$».

з) «$y - 3 < 1$» и «$y \le 4$».

а)

Утверждение «Все кошки четвероногие» является истинным. Утверждение «Все четвероногие – кошки» является ложным. Чтобы доказать их неэквивалентность, достаточно найти объект, который является четвероногим, но не является кошкой. Таким контрпримером может служить, например, собака. Собака — четвероногое животное, но не кошка. Это делает второе утверждение ложным, в то время как первое остается истинным. Поскольку истинностные значения утверждений могут не совпадать, они не равносильны.

Ответ: Утверждения не равносильны, контрпример: собака является четвероногим животным, но не является кошкой.

б)

Чтобы доказать, что утверждения не равносильны, нужно найти такое число $x$, для которого одно утверждение будет истинным, а другое ложным. Возьмем в качестве контрпримера $x=14$. Первое утверждение «Число 14 делится на 2» истинно. Второе утверждение «Число 14 оканчивается на 2» ложно. Так как для $x=14$ истинность утверждений разная, они не являются равносильными.

Ответ: Утверждения не равносильны, контрпример: $x=14$.

в)

Рассмотрим два случая.

1. Контрпример, где первое утверждение истинно, а второе ложно. Пусть $x=17$. Утверждение «Число 17 оканчивается на 7» истинно. Утверждение «Число 17 делится на 7» ложно.

2. Контрпример, где второе утверждение истинно, а первое ложно. Пусть $x=21$. Утверждение «Число 21 оканчивается на 7» ложно. Утверждение «Число 21 делится на 7» истинно.

В обоих случаях истинность утверждений не совпадает, следовательно, они не равносильны.

Ответ: Утверждения не равносильны, контрпример: $x=17$ (оканчивается на 7, но не делится на 7).

г)

Чтобы доказать неэквивалентность, найдем такую пару чисел $a$ и $b$, для которой одно утверждение истинно, а другое ложно. Пусть $a=10$ и $b=5$. Утверждение «Число $a$ делится на $b$», то есть «10 делится на 5», истинно. Утверждение «Число $b$ делится на $a$», то есть «5 делится на 10», ложно (в области целых чисел). Таким образом, утверждения не равносильны.

Ответ: Утверждения не равносильны, контрпример: $a=10, b=5$.

д)

Найдем такие числа $a, b, c$, чтобы сумма $a+b$ делилась на $c$, но ни $a$, ни $b$ по отдельности на $c$ не делились. Пусть $a=3$, $b=5$, $c=4$. Первое утверждение: «Сумма чисел 3 и 5 делится на 4». Это истинно, так как $3+5=8$, а 8 делится на 4. Второе утверждение: «Одно из чисел 3 и 5 делится на 4». Это ложно, так как ни 3, ни 5 не делятся на 4. Поскольку истинность утверждений различна, они не равносильны.

Ответ: Утверждения не равносильны, контрпример: $a=3, b=5, c=4$.

е)

Рассмотрим случай, когда $c$ является составным числом. Пусть $a=4$, $b=6$, $c=8$. Первое утверждение: «Произведение $4 \cdot 6$ делится на 8». Это истинно, так как $4 \cdot 6 = 24$, а 24 делится на 8. Второе утверждение: «Одно из чисел 4 и 6 делится на 8». Это ложно, так как ни 4, ни 6 не делятся на 8. Следовательно, утверждения не равносильны.

Ответ: Утверждения не равносильны, контрпример: $a=4, b=6, c=8$.

ж)

Два утверждения (уравнения) равносильны, если множества их решений совпадают. Решим первое уравнение: $x^2 - 1 = 8 \Rightarrow x^2 = 9$, его решения $x=3$ и $x=-3$. Решим второе уравнение: $x+2=7 \Rightarrow x=5$. Множества решений $\{-3, 3\}$ и $\{5\}$ не совпадают. В качестве контрпримера можно взять любое число, которое является решением одного уравнения, но не является решением другого. Например, $x=3$. Для этого значения первое утверждение $3^2 - 1 = 8$ истинно, а второе $3+2=7$ ложно. Это доказывает, что утверждения не равносильны.

Ответ: Утверждения не равносильны, контрпример: $x=3$.

з)

Два утверждения (неравенства) равносильны, если множества их решений совпадают. Решим первое неравенство: $y - 3 < 1 \Rightarrow y < 4$. Его решением является интервал $(-\infty; 4)$. Второе неравенство: $y \le 4$. Его решением является луч $(-\infty; 4]$. Множества решений не совпадают. В качестве контрпримера возьмем $y=4$. Для этого значения первое утверждение $4-3 < 1$ (то есть $1 < 1$) ложно. Второе утверждение $4 \le 4$ истинно. Так как для $y=4$ истинность утверждений разная, они не равносильны.

Ответ: Утверждения не равносильны, контрпример: $y=4$.