Номер 822, страница 163, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

822* При каких натуральных $n$ число $8n + 3$ делится на $13$?

Для того чтобы число $8n + 3$ делилось на 13, необходимо, чтобы остаток от деления этого числа на 13 был равен нулю. В терминах сравнений по модулю это записывается так:

$8n + 3 \equiv 0 \pmod{13}$

Чтобы решить это линейное сравнение относительно $n$, будем преобразовывать его. Сначала перенесем 3 в правую часть:

$8n \equiv -3 \pmod{13}$

По определению сравнения, мы можем прибавить к правой части модуль (число 13) любое количество раз. Прибавим 13 к -3, чтобы получить положительный остаток:

$-3 \equiv -3 + 13 \equiv 10 \pmod{13}$

Теперь сравнение имеет вид:

$8n \equiv 10 \pmod{13}$

Нам нужно найти такое $n$, чтобы $8n$ при делении на 13 давало остаток 10. Мы можем продолжать прибавлять 13 к правой части до тех пор, пока она не станет делиться на 8.

$10 \pmod{13}$
$10 + 13 = 23 \pmod{13}$
$10 + 2 \cdot 13 = 36 \pmod{13}$
$10 + 3 \cdot 13 = 49 \pmod{13}$
$10 + 4 \cdot 13 = 62 \pmod{13}$
$10 + 5 \cdot 13 = 75 \pmod{13}$
$10 + 6 \cdot 13 = 88 \pmod{13}$

Мы нашли, что $10 \equiv 88 \pmod{13}$. Подставим это в наше сравнение:

$8n \equiv 88 \pmod{13}$

Поскольку числа 8 и 13 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), мы можем разделить обе части сравнения на 8:

$n \equiv 11 \pmod{13}$

Это означает, что $n$ при делении на 13 дает остаток 11. Такие числа можно представить в виде формулы:

$n = 13k + 11$

По условию, $n$ — натуральное число, то есть $n \geq 1$.

Если $k=0$, $n = 13 \cdot 0 + 11 = 11$. Это натуральное число.

Если $k=1$, $n = 13 \cdot 1 + 11 = 24$. Это натуральное число.

Если $k$ — любое целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, \ldots$), то $n$ будет натуральным.

Ответ: $n = 13k + 11$, где $k$ — любое целое неотрицательное число ($k \in \{0, 1, 2, ...\}$).