Номер 86, страница 21, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

К 86 Составь схему и построй математическую модель задачи.

1) Квартира состоит из 3 комнат общей площадью 42 $м^2$. Первая комната по площади в 2 раза меньше второй, а вторая — на 3 $м^2$ больше третьей. Чему равна площадь каждой комнаты в этой квартире?

2) За книгу, ручку и тетрадь Саша заплатил 270 р. Ручка в 3 раза дороже тетради и на 25 р. дешевле книги. Сколько стоит тетрадь?

3) Мотоциклист проехал расстояние между двумя городами, равное 980 км, за 4 дня. В первый день он проехал на 80 км меньше, чем во второй день, в третий день – половину расстояния, пройденного за первые два дня, а в четвёртый день – оставшиеся 140 км. Какое расстояние проехал мотоциклист в третий день?

4) Периметр четырёхугольника равен 46 дм. Первая его сторона в 2 раза меньше второй и в 3 раза меньше третьей стороны, а четвёртая сторона на 4 см больше первой стороны. Чему равны длины сторон этого четырёхугольника?

1)

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть площадь третьей комнаты равна $x \text{ м}^2$.
Тогда, согласно условию, площадь второй комнаты, которая на $3 \text{ м}^2$ больше третьей, равна $(x + 3) \text{ м}^2$.
Первая комната в 2 раза меньше второй, значит, её площадь равна $\frac{x+3}{2} \text{ м}^2$.
Общая площадь всех трех комнат составляет $42 \text{ м}^2$. Составим уравнение:
$\frac{x+3}{2} + (x+3) + x = 42$
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:
$(x+3) + 2(x+3) + 2x = 84$
$x+3 + 2x+6 + 2x = 84$
Приведем подобные слагаемые:
$5x + 9 = 84$
$5x = 84 - 9$
$5x = 75$
$x = \frac{75}{5}$
$x = 15$
Таким образом, мы нашли площадь третьей комнаты: $15 \text{ м}^2$.
Теперь найдем площади остальных комнат:
Площадь второй комнаты: $x + 3 = 15 + 3 = 18 \text{ м}^2$.
Площадь первой комнаты: $\frac{x+3}{2} = \frac{15+3}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ м}^2$.
Проверим: $9 + 18 + 15 = 42 \text{ м}^2$. Всё верно.

Ответ: площадь первой комнаты – $9 \text{ м}^2$, второй – $18 \text{ м}^2$, третьей – $15 \text{ м}^2$.

2)

Построим математическую модель. Пусть цена тетради равна $x$ рублей.
Ручка в 3 раза дороже тетради, значит, её цена составляет $3x$ рублей.
Ручка на 25 рублей дешевле книги, следовательно, книга стоит на 25 рублей дороже ручки. Цена книги: $(3x + 25)$ рублей.
Общая стоимость покупки (книга, ручка и тетрадь) составляет 270 рублей. Составим уравнение:
$(3x + 25) + 3x + x = 270$
Приведем подобные слагаемые:
$7x + 25 = 270$
$7x = 270 - 25$
$7x = 245$
$x = \frac{245}{7}$
$x = 35$
Мы нашли цену тетради.

Ответ: тетрадь стоит 35 рублей.

3)

Для решения задачи составим модель, двигаясь от конца к началу.
1. Общее расстояние равно 980 км. В четвертый день мотоциклист проехал 140 км. Найдем расстояние, пройденное за первые три дня:
$980 - 140 = 840 \text{ км}$.
2. Пусть расстояние, пройденное в третий день, равно $x$ км.
По условию, это половина расстояния, пройденного за первые два дня. Значит, расстояние за первые два дня равно $2x$ км.
3. Суммарное расстояние за первые три дня равно сумме расстояний за первые два дня и за третий день:
$2x + x = 840 \text{ км}$.
4. Решим полученное уравнение:
$3x = 840$
$x = \frac{840}{3}$
$x = 280$
Таким образом, расстояние, которое мотоциклист проехал в третий день, составляет 280 км.

Ответ: в третий день мотоциклист проехал 280 км.

4)

В условии задачи есть несоответствие единиц измерения: периметр указан в дециметрах (дм), а одна из длин – в сантиметрах (см). Предположим, что в условии опечатка, и четвертая сторона на 4 дм больше первой.
Пусть длина первой стороны равна $x$ дм.
Первая сторона в 2 раза меньше второй, значит, вторая сторона равна $2x$ дм.
Первая сторона в 3 раза меньше третьей, значит, третья сторона равна $3x$ дм.
Четвёртая сторона на 4 дм больше первой, значит, её длина равна $(x + 4)$ дм.
Периметр четырёхугольника – это сумма длин всех его сторон. Периметр равен 46 дм. Составим уравнение:
$x + 2x + 3x + (x + 4) = 46$
Приведем подобные слагаемые:
$7x + 4 = 46$
$7x = 46 - 4$
$7x = 42$
$x = \frac{42}{7}$
$x = 6$
Мы нашли длину первой стороны. Теперь найдем длины остальных сторон:
Первая сторона: $x = 6$ дм.
Вторая сторона: $2x = 2 \cdot 6 = 12$ дм.
Третья сторона: $3x = 3 \cdot 6 = 18$ дм.
Четвёртая сторона: $x + 4 = 6 + 4 = 10$ дм.
Проверка: $6 + 12 + 18 + 10 = 46$ дм. Всё верно.

Ответ: длины сторон четырёхугольника равны 6 дм, 12 дм, 18 дм и 10 дм.