Номер 87, страница 22, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

87 Построй математическую модель задачи, обозначая буквой $x$ задуманное число.

1) Одно из чисел на 17 меньше второго, а их сумма равна 75. Найти большее из этих чисел.

$x + (x - 17) = 75$

2) Первое число в 3 раза больше второго, а разность этих чисел равна 48. Найти меньшее число.

$3x - x = 48$

3) К задуманному числу прибавили 4, сумму увеличили в 5 раз, из результата вычли 16 и получили на 2 меньше, чем получили бы, сложив учетверённое задуманное число с 9. Какое число было задумано?

$5(x + 4) - 16 = 4x + 9 - 2$

4) Из задуманного числа вычли 3, полученную разность уменьшили в 2 раза и получили на 5 больше, чем треть задуманного числа. Какое число задумано?

$\frac{x - 3}{2} = \frac{x}{3} + 5$

1) Пусть большее из двух чисел равно $x$. Согласно условию, другое число на 17 меньше, значит оно равно $x - 17$. Их сумма равна 75. Составим математическую модель (уравнение):
$x + (x - 17) = 75$
Решим это уравнение. Сначала раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2x - 17 = 75$
Перенесем 17 в правую часть уравнения, изменив знак:
$2x = 75 + 17$
$2x = 92$
Найдем $x$, разделив обе части на 2:
$x = \frac{92}{2}$
$x = 46$
Таким образом, большее число равно 46. Меньшее число, соответственно, равно $46 - 17 = 29$.
Ответ: 46

2) Пусть меньшее число равно $x$. По условию, первое (большее) число в 3 раза больше второго, следовательно, оно равно $3x$. Разность этих чисел равна 48. Составим уравнение:
$3x - x = 48$
Решим уравнение:
$2x = 48$
$x = \frac{48}{2}$
$x = 24$
Мы искали меньшее число, и мы его нашли. Большее число равно $3 \cdot 24 = 72$. Разность $72 - 24 = 48$, что соответствует условию.
Ответ: 24

3) Обозначим задуманное число буквой $x$. Составим математическую модель, последовательно переводя слова задачи в математические выражения.
Левая часть уравнения:
К задуманному числу прибавили 4: $x + 4$.
Сумму увеличили в 5 раз: $5 \cdot (x + 4)$.
Из результата вычли 16: $5(x + 4) - 16$.
Правая часть уравнения:
Учетверённое задуманное число: $4x$.
Сложили с 9: $4x + 9$.
Первый результат на 2 меньше второго, значит, чтобы их приравнять, нужно из второго вычесть 2: $(4x + 9) - 2$.
Составляем и решаем уравнение:
$5(x + 4) - 16 = (4x + 9) - 2$
$5x + 20 - 16 = 4x + 7$
$5x + 4 = 4x + 7$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$5x - 4x = 7 - 4$
$x = 3$
Проверим: левая часть $5(3+4)-16 = 5 \cdot 7 - 16 = 35 - 16 = 19$. Правая часть $(4 \cdot 3 + 9) - 2 = (12+9) - 2 = 21 - 2 = 19$. Равенство верное.
Ответ: 3

4) Пусть задуманное число — это $x$. Составим уравнение на основе условия задачи.
Левая часть уравнения:
Из задуманного числа вычли 3: $x - 3$.
Полученную разность уменьшили в 2 раза (т.е. разделили на 2): $\frac{x - 3}{2}$.
Правая часть уравнения:
Треть задуманного числа: $\frac{x}{3}$.
Результат левой части на 5 больше, чем треть задуманного числа: $\frac{x}{3} + 5$.
Приравниваем левую и правую части:
$\frac{x - 3}{2} = \frac{x}{3} + 5$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6:
$6 \cdot \frac{x - 3}{2} = 6 \cdot (\frac{x}{3} + 5)$
$3(x - 3) = 6 \cdot \frac{x}{3} + 6 \cdot 5$
$3x - 9 = 2x + 30$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$3x - 2x = 30 + 9$
$x = 39$
Проверим: левая часть $(\frac{39-3}{2}) = \frac{36}{2} = 18$. Правая часть $\frac{39}{3} + 5 = 13 + 5 = 18$. Равенство верное.
Ответ: 39