Номер 1021, страница 211, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1021 Перепиши примеры в тетрадь, заполнив пропуски так, чтобы получились верные записи.

а) $ \begin{array}{r} \Box\Box 9,8 \\ \times \quad \Box,\Box 5 \\ \hline 274\Box\Box \\ + \Box\Box\Box\Box 2 \\ \hline \Box\Box 5,\Box\Box\Box \end{array} $

б) $ \begin{array}{r} 0,\Box 4\Box \\ \times \quad 8\Box 6\Box \\ \hline 4\Box 70 \\ + \quad \Box\Box\Box\Box \\ \hline \Box\Box\Box,\Box\Box\Box \end{array} $

в) $ \begin{array}{r} \Box,\Box 3\Box \\ \times \quad 7\Box\Box,8 \\ \hline 3\Box 2\Box\Box \\ + \quad \Box\Box \\ \hline \Box,\Box\Box\Box 0 \end{array} $

а)

Для решения данного примера в столбик, обозначим пропущенные цифры буквами, чтобы восстановить исходное выражение.
Первый множитель: $AB9,8$.
Второй множитель: $C,D5$.

В столбике для умножения показаны два промежуточных результата. Это означает, что один из разрядов второго множителя (C или D) равен нулю.

1. Рассмотрим первый промежуточный результат, который получается умножением $AB9,8$ на 5 (последняя цифра второго множителя). Результат выглядит как $274\_\ \_$.
$8 \times 5 = 40$. Последняя цифра - 0, переносим 4.
$9 \times 5 + 4 = 49$. Предпоследняя цифра - 9, переносим 4.
$B \times 5 + 4$ должно заканчиваться на 4 (из $274\_\ \_$). Значит, $B \times 5$ должно заканчиваться на 0. $B$ может быть 0, 2, 4, 6, 8.
$A \times 5$ с учетом переноса от предыдущего шага должно дать 27.
Проверим $B=4$: $4 \times 5 + 4 = 24$. Пишем 4, переносим 2.
Тогда $A \times 5 + 2 = 27$, откуда $A \times 5 = 25$, и $A = 5$.
Итак, первый множитель - $549,8$. Проверим: $549,8 \times 5 = 2749,0$. Это соответствует строке $27490$.

2. Второй промежуточный результат $\_\ \_\ \_\ \_2$ получается из умножения $549,8$ на одну из неизвестных цифр второго множителя. Умножение $549,8$ на цифру должно дать число, оканчивающееся на 2. Произведение $8 \times (\text{цифра})$ должно оканчиваться на 2. Это возможно, если цифра равна 4 ($8 \times 4 = 32$) или 9 ($8 \times 9 = 72$).

3. Расположение промежуточных результатов. Второй результат сдвинут на одну позицию влево относительно первого, но в итоговой сумме в разряде единиц целой части стоит 5. Этого не получается, если предположить, что второй множитель $0,D5$. Однако, если предположить, что в множителе $C,D5$ цифра $D=0$, а $C$ не равно нулю, то сдвиг второго промежуточного результата будет на две позиции.
Пусть второй множитель равен $C,05$.
Второй промежуточный результат получается от умножения $549,8$ на $C$. Как мы выяснили, $C$ может быть 4 или 9.
Проверим $C=9$. Множитель: $9,05$.
Выполним умножение: $549,8 \times 9,05$.
$549,8 \times 0,05 = 27,490$.
$549,8 \times 9 = 4948,2$.
Сумма: $27,490 + 4948,2 = 4975,690$.
Целая часть результата, $4975$, оканчивается на 5, что соответствует шаблону в задаче.

Восстановленный пример:
$\times \begin{array}{r}549,8 \\ 9,05 \\ \hline\end{array}$
$+\begin{array}{r}27490 \\ 49482 \ \ \\ \hline\end{array}$
$\begin{array}{r} \ \ 4975,690\end{array}$

Ответ:
$\times \begin{array}{r}549,8 \\ 9,05 \\ \hline\end{array}$
$+\begin{array}{r}27490 \\ 49482 \ \ \\ \hline\end{array}$
$\begin{array}{r} \ \ 4975,690\end{array}$

б)

Обозначим первый множитель $0,A4B$, а второй - $8C6D$.
В примере показаны только два промежуточных результата, хотя второй множитель четырехзначный. Это значит, что две его цифры - нули. Учитывая расположение цифр 8 и 6, второй множитель равен $8060$.

1. Первый промежуточный результат $4\_70$ получается от умножения $A4B$ на 6 (из 8060).
$B \times 6$ должно оканчиваться на 0. $B=0$ или $B=5$.
Если $B=0$: $4 \times 6 = 24$. Пишем 4, переносим 2. $A \times 6 + 2$ должно оканчиваться на 7. $A \times 6$ оканчивается на 5. Невозможно.
Если $B=5$: $5 \times 6 = 30$. Пишем 0, переносим 3. $4 \times 6 + 3 = 27$. Пишем 7, переносим 2. Это совпадает с $...70$.
Далее, $A \times 6 + 2$ должно дать 4 (из $4...$). Или 14, 24, 34, 44...
$A \times 6 + 2 = 4 \implies A \times 6 = 2$ (нет целых решений).
$A \times 6 + 2 = 14 \implies A \times 6 = 12 \implies A=2$. Тогда число $245$, а $245 \times 6 = 1470$. Не совпадает с $4\_70$.
$A \times 6 + 2 = 44 \implies A \times 6 = 42 \implies A=7$. Тогда число $745$, а $745 \times 6 = 4470$. Это совпадает с $4\_70$.
Итак, первый множитель - $0,745$.

2. Второй промежуточный результат получается от умножения $745$ на 8 (из 8060).
$0,745 \times 8000 = 5960$.

3. Вычислим итоговый результат:
$0,745 \times 8060 = 0,745 \times (8000 + 60) = 0,745 \times 8000 + 0,745 \times 60 = 5960 + 44,7 = 6004,7$.

Восстановленный пример:
$\times \begin{array}{r}0,745 \\ 8060 \\ \hline\end{array}$
$+\begin{array}{r}4470 \\ 5960 \ \ \ \\ \hline\end{array}$
$\begin{array}{r} \ \ 6004,700\end{array}$
(Промежуточные результаты в столбике соответствуют умножению $745 \times 60 = 44700$ и $745 \times 8000 = 5960000$, которые затем складываются)

Ответ:
$\times \begin{array}{r}0,745 \\ 8060 \\ \hline\end{array}$
$+\begin{array}{r}\ \ 44700 \\ 5960000 \ \ \\ \hline\end{array}$
$\begin{array}{r}6004,700\end{array}$

в)

Эта задача содержит несколько несоответствий в схематическом изображении, но может быть решена логически.
Первый множитель: $A,B3C$.
Второй множитель: $7DEF,8$.

1. Первый промежуточный результат $3\_2\_\_$ получен умножением первого множителя на 8.
$(AB3C) \times 8 = 3\_2\_\_$.
$C \times 8$ оканчивается на 0 (так как итоговый результат оканчивается на 0). $C=5$.
$5 \times 8 = 40$. Пишем 0, переносим 4.
$3 \times 8 + 4 = 28$. Пишем 8, переносим 2.
$B \times 8 + 2$ должно оканчиваться на 2. Значит, $B \times 8$ оканчивается на 0. $B=5$.
$5 \times 8 + 2 = 42$. Пишем 2, переносим 4.
$A \times 8 + 4$ должно дать 3 (из $3...$). Или 13, 23, 33...
$A \times 8 + 4 = 36$ (ближайшее число вида $3\_$ к которому можно прийти) $\implies A \times 8 = 32 \implies A=4$.
Первый множитель - $4,535$. Проверка: $4535 \times 8 = 36280$. Это соответствует шаблону $3\_2\_\_$.

2. Второй множитель $7DEF,8$. В столбике показано 4 промежуточных результата, а в множителе 5 цифр ($7,D,E,F,8$). Это означает, что одна из цифр D, E или F равна нулю. Самый простой случай, который приводит к осмысленному ответу, это когда $D=E=F=0$.
Тогда второй множитель равен $7000,8$.

3. Вычислим итоговый результат: $4,535 \times 7000,8$.
$4,535 \times 0,8 = 3,628$.
$4,535 \times 7000 = 31745$.
Сумма: $3,628 + 31745 = 31748,628$.

Заметим, что количество разрядов в итоговом результате в задании указано неверно, что является опечаткой в условии.
Восстановленный пример:
$\times \begin{array}{r}4,535 \\ 7000,8 \\ \hline\end{array}$
$+\begin{array}{r}36280 \\ 31745 \ \ \ \ \ \ \\ \hline\end{array}$
$\begin{array}{r} \ \ 31748,6280\end{array}$

Ответ:
$\times \begin{array}{r}4,535 \\ 7000,8 \\ \hline\end{array}$
$+\begin{array}{r}36280 \\ 31745 \ \ \ \ \ \ \\ \hline\end{array}$
$\begin{array}{r} \ \ 31748,6280\end{array}$