Номер 1096, страница 227, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1096 Игра «Кто больше?»

1) Какая фигура изображена на рисунке? Измерь её стороны, углы, диагонали и перечисли как можно больше её свойств.

2) Сколькими способами можно пройти из точки $A$ в точку $D$? Перечисли все пути.

3) Сколько на рисунке прямых, острых, тупых углов? Назови все пары вертикальных и смежных углов.

1) На рисунке изображен четырёхугольник ABCD. По внешнему виду это выпуклая равнобедренная трапеция. Для точного измерения сторон, углов и диагоналей необходимы измерительные инструменты (линейка и транспортир), но мы можем перечислить свойства этой фигуры, основываясь на её типе.

Свойства фигуры (равнобедренной трапеции ABCD):

• Это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями. В данном случае основаниями являются BC и AD, то есть $BC \parallel AD$.
• Так как трапеция равнобедренная, её боковые (непараллельные) стороны равны: $AB = CD$.
• Углы при каждом основании равны. Углы при большем основании AD острые и равны друг другу: $∠DAB = ∠CDA$. Углы при меньшем основании BC тупые и равны друг другу: $∠ABC = ∠BCD$.
• Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180°$. Например, $∠DAB + ∠ABC = 180°$.
• Сумма всех внутренних углов четырёхугольника равна $360°$: $∠DAB + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA = 360°$.
• Диагонали равнобедренной трапеции равны: $AC = BD$.
• Диагонали пересекаются в точке O и делятся ею на отрезки. При этом отрезки, прилегающие к основаниям, попарно равны: $AO = DO$ и $BO = CO$.
• Диагонали делят трапецию на четыре треугольника: $△AOB$, $△BOC$, $△COD$ и $△DOA$. Треугольники $△AOB$ и $△COD$ равны, а треугольники $△BOC$ и $△DOA$ подобны.

Ответ: На рисунке изображена равнобедренная трапеция ABCD. Её основные свойства: параллельность оснований ($BC \parallel AD$), равенство боковых сторон ($AB = CD$), равенство углов при основаниях ($∠DAB = ∠CDA$, $∠ABC = ∠BCD$) и равенство диагоналей ($AC = BD$).

2) Для того чтобы пройти из точки А в точку D, можно двигаться по сторонам и диагоналям фигуры, не проходя одну и ту же вершину дважды в одном пути. Перечислим все возможные маршруты:

1. По стороне AD: A → D.
2. Через вершину B и диагональ BD: A → B → D. (Путь состоит из отрезков AB и BD)
3. Через диагональ AC и сторону CD: A → C → D. (Путь состоит из отрезков AC и CD)
4. По сторонам через вершины B и C: A → B → C → D.
5. Через точку пересечения диагоналей O: A → O → D.

Если считать, что отрезки диагоналей (например, AO и OD) являются отдельными участками пути и можно комбинировать их со сторонами, то количество путей может быть больше. Например, A → B → O → D. В рамках школьной задачи обычно рассматриваются более простые пути. Приведенные выше 5 путей являются наиболее очевидными.

Ответ: Существует как минимум 5 способов пройти из точки А в точку D. Пути: A→D; A→B→D; A→C→D; A→B→C→D; A→O→D.

3) Подсчитаем количество углов разного типа на рисунке и назовем пары вертикальных и смежных углов.

• Прямые углы (равные $90°$): На рисунке нет прямых углов. 0 прямых углов.
• Острые углы (меньше $90°$):
  • Углы при основании AD: $∠DAB$, $∠CDA$.
  • Углы, образованные диагоналями со сторонами: $∠OAB$, $∠OBA$, $∠OCB$, $∠OBC$, $∠ODC$, $∠OCD$, $∠OAD$, $∠ODA$.
  • Два из четырех углов при пересечении диагоналей: $∠BOC$, $∠DOA$.
  Всего 12 острых углов.
• Тупые углы (больше $90°$):
  • Углы при основании BC: $∠ABC$, $∠BCD$.
  • Два из четырех углов при пересечении диагоналей: $∠AOB$, $∠COD$.
  Всего 4 тупых угла.

Пары вертикальных углов (образованы пересечением прямых AC и BD, они равны):

• $∠AOB$ и $∠COD$
• $∠BOC$ и $∠DOA$

Пары смежных углов (дополняют друг друга до $180°$, образованы пересечением прямых AC и BD):

• $∠AOB$ и $∠BOC$
• $∠BOC$ и $∠COD$
• $∠COD$ и $∠DOA$
• $∠DOA$ и $∠AOB$

Ответ: На рисунке 0 прямых углов, 12 острых углов и 4 тупых угла. Пары вертикальных углов: $∠AOB$ и $∠COD$; $∠BOC$ и $∠DOA$. Пары смежных углов: $∠AOB$ и $∠BOC$; $∠BOC$ и $∠COD$; $∠COD$ и $∠DOA$; $∠DOA$ и $∠AOB$.