Номер 1089, страница 225, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1089 Являются ли периодическими «дроби», если сохранится закономерность их построения:

а) $0,101001000100001000001...;$

б) $0,123456789101112131415...?$

Чтобы десятичная дробь была периодической, необходимо, чтобы начиная с некоторого разряда после запятой, одна и та же последовательность цифр (называемая периодом) повторялась бесконечно. Длина этой последовательности (длина периода) должна быть конечной.

а)

Рассмотрим число $0,101001000100001000001...$

Закономерность построения этой дроби заключается в том, что после запятой последовательно записываются группы цифр, состоящие из одной единицы и увеличивающегося количества нулей. Первая группа — это $10$ (один нуль), вторая — $100$ (два нуля), третья — $1000$ (три нуля), $n$-я группа — это $1$ и $n$ нулей.

Предположим, что эта дробь является периодической. Это значит, что у неё есть период — повторяющаяся группа цифр конечной длины, скажем, $L$. Однако в нашей дроби количество следующих друг за другом нулей постоянно растёт. Для любой возможной длины периода $L$ мы всегда сможем найти в записи числа группу, содержащую более $L$ нулей подряд (например, группу, соответствующую $n=L+1$). Такая длинная последовательность нулей не может быть частью повторяющегося блока длиной $L$.

Поскольку длина последовательностей из нулей неограниченно увеличивается, никакая конечная последовательность цифр не может периодически повторяться. Следовательно, данная дробь не является периодической.

Ответ: не является.

б)

Рассмотрим число $0,123456789101112131415...$

Эта дробь построена путем последовательной записи всех натуральных чисел ($1, 2, 3, ..., 9, 10, 11, ...$) после запятой.

Как и в предыдущем пункте, предположим, что дробь периодическая с периодом длиной $L$. Это означает, что после некоторого начального блока цифр вся остальная бесконечная последовательность цифр состоит из повторений одной и той же группы из $L$ цифр.

Однако в записи нашего числа присутствуют последовательности цифр, которые делают это невозможным. Например, рассмотрим натуральные числа, являющиеся степенями десяти: $10, 100, 1000, ..., 10^k, ...$. Они вносят в запись дроби последовательности нулей, длина которых неограниченно растет. Для любой предполагаемой длины периода $L$ в записи дроби рано или поздно появится число $10^{L+1}$, которое выглядит как единица, за которой следует $L+1$ нуль. Последовательность из $L+1$ нуля не может содержаться в повторяющемся блоке длиной $L$. Аналогично можно рассмотреть числа, состоящие только из единиц ($1, 11, 111, ...$) или любых других цифр.

Поскольку в десятичной записи этого числа встречаются сколь угодно длинные блоки, не соответствующие предполагаемому периоду, данная дробь не может быть периодической.

Ответ: не является.