Номер 1083, страница 224, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1083 1) Уже в древности было известно, что Архимедово число - $\frac{22}{7}$ - примерно равно отношению площади круга к квадрату его радиуса. Замени эту дробь десятичной дробью с точностью до сотых и запиши приближённое равенство, выражающее зависимость площади круга $S$ от квадрата его радиуса $R$.

2) Пользуясь полученным равенством, найди приближённое значение:

а) площади круга, радиус которого равен: 5 см; 16 м; 40 дм;

б) радиуса и диаметра круга, площадь которого равна: 78,5 см²; 12,56 дм²; 314 м².

1) Согласно условию, отношение площади круга $S$ к квадрату его радиуса $R^2$ примерно равно числу $\frac{22}{7}$. Переведем эту обыкновенную дробь в десятичную, разделив числитель на знаменатель: $22 \div 7 = 3.142857...$ Округлив это значение до сотых, получаем $3.14$. Таким образом, мы можем записать соотношение $\frac{S}{R^2} \approx 3.14$. Выразив отсюда площадь $S$, получим искомое приближенное равенство, выражающее зависимость площади круга от квадрата его радиуса.

Ответ: $S \approx 3.14 \cdot R^2$.

2) Воспользуемся полученным равенством для дальнейших расчетов.

а) Найдем приближенное значение площади круга по его радиусу.

Если радиус $R = 5 \text{ см}$, то площадь $S \approx 3.14 \cdot 5^2 = 3.14 \cdot 25 = 78.5 \text{ см}^2$.

Ответ: $78.5 \text{ см}^2$.

Если радиус $R = 16 \text{ м}$, то площадь $S \approx 3.14 \cdot 16^2 = 3.14 \cdot 256 = 803.84 \text{ м}^2$.

Ответ: $803.84 \text{ м}^2$.

Если радиус $R = 40 \text{ дм}$, то площадь $S \approx 3.14 \cdot 40^2 = 3.14 \cdot 1600 = 5024 \text{ дм}^2$.

Ответ: $5024 \text{ дм}^2$.

б) Найдем приближенное значение радиуса и диаметра круга по его площади. Из формулы $S \approx 3.14 \cdot R^2$ выразим радиус: $R \approx \sqrt{\frac{S}{3.14}}$. Диаметр $D$ найдем по формуле $D = 2R$.

Если площадь $S = 78.5 \text{ см}^2$, то радиус $R \approx \sqrt{\frac{78.5}{3.14}} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$. Диаметр $D = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}$.

Ответ: радиус $5 \text{ см}$, диаметр $10 \text{ см}$.

Если площадь $S = 12.56 \text{ дм}^2$, то радиус $R \approx \sqrt{\frac{12.56}{3.14}} = \sqrt{4} = 2 \text{ дм}$. Диаметр $D = 2 \cdot 2 = 4 \text{ дм}$.

Ответ: радиус $2 \text{ дм}$, диаметр $4 \text{ дм}$.

Если площадь $S = 314 \text{ м}^2$, то радиус $R \approx \sqrt{\frac{314}{3.14}} = \sqrt{100} = 10 \text{ м}$. Диаметр $D = 2 \cdot 10 = 20 \text{ м}$.

Ответ: радиус $10 \text{ м}$, диаметр $20 \text{ м}$.