Номер 1087, страница 225, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1087 Верны ли утверждения?

1) Если несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби, то её знаменатель в качестве простых делителей имеет только 2 и 5.

2) Если знаменатель несократимой дроби имеет в качестве простых делителей только 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби.

3) Несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби в том и только в том случае, когда её знаменатель в качестве простых делителей имеет только 2 и 5.

Какие из этих утверждений останутся верными, если убрать слово несократимая (с соответствующим падежным окончанием)?

Проанализируем верность каждого утверждения.

1) Утверждение: "Если несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби, то её знаменатель в качестве простых делителей имеет только 2 и 5."
Данное утверждение верно. Если несократимая дробь $\frac{p}{q}$ представляется в виде конечной десятичной, то она равна некоторой дроби со знаменателем в виде степени десяти, например $\frac{A}{10^n}$. Имеем $\frac{p}{q} = \frac{A}{10^n} = \frac{A}{2^n \cdot 5^n}$. Отсюда $p \cdot 2^n \cdot 5^n = q \cdot A$. Так как дробь $\frac{p}{q}$ несократима, числа $p$ и $q$ взаимно просты. Из этого следует, что все простые множители знаменателя $q$ должны быть делителями произведения $2^n \cdot 5^n$. Единственными простыми делителями числа $2^n \cdot 5^n$ являются 2 и 5. Следовательно, знаменатель $q$ может иметь в своем разложении на простые множители только числа 2 и 5.
Ответ: Верно.

2) Утверждение: "Если знаменатель несократимой дроби имеет в качестве простых делителей только 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби."
Данное утверждение верно. Пусть знаменатель $q$ несократимой дроби $\frac{p}{q}$ имеет вид $q = 2^k \cdot 5^m$, где $k$ и $m$ — неотрицательные целые числа. Чтобы представить дробь в виде конечной десятичной, нужно привести ее к знаменателю, равному степени 10. Пусть $N = \max(k, m)$. Умножим числитель и знаменатель на $2^{N-k} \cdot 5^{N-m}$:

$\frac{p}{q} = \frac{p}{2^k \cdot 5^m} = \frac{p \cdot 2^{N-k} \cdot 5^{N-m}}{2^k \cdot 5^m \cdot 2^{N-k} \cdot 5^{N-m}} = \frac{p \cdot 2^{N-k} \cdot 5^{N-m}}{2^N \cdot 5^N} = \frac{p \cdot 2^{N-k} \cdot 5^{N-m}}{10^N}$.

Так как в знаменателе получилась степень десяти, эта дробь является конечной десятичной.
Ответ: Верно.

3) Утверждение: "Несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби в том и только в том случае, когда её знаменатель в качестве простых делителей имеет только 2 и 5."
Данное утверждение верно. Оно объединяет два предыдущих утверждения, которые являются необходимым и достаточным условиями. Утверждение 1 доказывает необходимость (если дробь конечная, то знаменатель имеет вид $2^k \cdot 5^m$), а утверждение 2 — достаточность (если знаменатель имеет вид $2^k \cdot 5^m$, то дробь конечная). Так как оба условия выполняются, утверждение, использующее оборот "в том и только в том случае", является верным.
Ответ: Верно.

Теперь рассмотрим, какие из этих утверждений останутся верными, если убрать слово "несократимая".

1) Новое утверждение: "Если дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби, то её знаменатель в качестве простых делителей имеет только 2 и 5."
Это утверждение становится неверным. В качестве контрпримера можно взять сократимую дробь $\frac{3}{6}$. Она равна $0.5$, то есть является конечной десятичной. Однако ее знаменатель $6 = 2 \cdot 3$ содержит простой делитель 3, что противоречит утверждению. Условие о знаменателе относится к несократимому представлению дроби, а не к любой ее записи.
Ответ: Неверно.

2) Новое утверждение: "Если знаменатель дроби имеет в качестве простых делителей только 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби."
Это утверждение остается верным. Доказательство полностью совпадает с доказательством для исходного утверждения 2. Если знаменатель дроби $\frac{a}{b}$ равен $b = 2^k \cdot 5^m$, то ее всегда можно привести к знаменателю вида $10^N$, домножив числитель и знаменатель на $2^{N-k} \cdot 5^{N-m}$, где $N = \max(k, m)$. Сократимость дроби не влияет на эту возможность.
Ответ: Верно.

3) Новое утверждение: "Дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби в том и только в том случае, когда её знаменатель в качестве простых делителей имеет только 2 и 5."
Это утверждение становится неверным. Оно требует, чтобы оба направления implication были истинны. Как мы показали, прямое утверждение ("если дробь конечная, то ее знаменатель имеет только множители 2 и 5") ложно (новый пункт 1), в то время как обратное утверждение ("если знаменатель дроби имеет только множители 2 и 5, то дробь конечная") истинно (новый пункт 2). Поскольку одно из направлений ложно, вся формулировка "в том и только в том случае" становится ложной.
Ответ: Неверно.

Таким образом, если из утверждений убрать слово "несократимая", верным останется только второе утверждение.