Номер 1084, страница 225, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

Л 1084 Найди общие высказывания и высказывания о существовании. Докажи или опровергни их.

1) Все натуральные числа, меньшие 4, простые.

2) Число 10 имеет составные делители.

3) Всякое составное число имеет составные делители, не равные ему.

4) Число, кратное 3 и 5, кратно 15.

5) $\exists a \in R: 5 \cdot a < 5 (R - \text{множество дробей}).$

6) $\exists b \in R: 24:b > 24 (R - \text{множество дробей}).$

7) $\exists c \in N: 24:c > 24 (N - \text{множество натуральных чисел}).$

8) $\exists d \in N: 24:d \ge 24 (N - \text{множество натуральных чисел}).$

1)

Это общее высказывание, так как оно относится ко всем натуральным числам, удовлетворяющим определенному условию (меньше 4).

Высказывание ложно. Чтобы его опровергнуть, достаточно найти один контрпример.

Натуральные числа, меньшие 4: это 1, 2 и 3.

Число 1 по определению не является ни простым, ни составным. Поскольку среди указанных чисел есть число 1, которое не является простым, утверждение "все числа простые" неверно.

Ответ: общее высказывание, ложно.

2)

Это высказывание о существовании. Оно утверждает, что у числа 10 существует по крайней мере один составной делитель.

Высказывание истинно. Чтобы его доказать, достаточно найти один пример.

Найдем все делители числа 10: 1, 2, 5, 10.

Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым.

Среди делителей числа 10 есть число 10. Число 10 является составным, так как $10 = 2 \cdot 5$.

Таким образом, у числа 10 есть составной делитель (это само число 10).

Ответ: высказывание о существовании, истинно.

3)

Это общее высказывание, так как оно начинается со слова "всякое" и относится ко всем составным числам.

Высказывание ложно. Опровергнем его на контрпримере.

Рассмотрим составное число 6. Его делители: 1, 2, 3, 6.

Делители, не равные ему (т.е. 6): это 1, 2, 3.

Среди этих делителей нет составных чисел: 1 не является ни простым, ни составным, а 2 и 3 - простые числа.

Таким образом, мы нашли составное число (6), у которого нет составных делителей, не равных ему.

Ответ: общее высказывание, ложно.

4)

Это общее высказывание. Оно утверждает свойство для любого числа, которое кратно 3 и 5.

Высказывание истинно. Докажем его.

Если число $n$ кратно 3, его можно записать как $n = 3k$ для некоторого целого $k$.

Если это же число $n$ кратно 5, значит, $3k$ должно делиться на 5.

Поскольку числа 3 и 5 взаимно простые (их единственный общий положительный делитель равен 1), то $k$ должно делиться на 5. То есть, $k = 5m$ для некоторого целого $m$.

Подставим это в выражение для $n$: $n = 3k = 3(5m) = 15m$.

Выражение $n = 15m$ означает, что число $n$ кратно 15.

Ответ: общее высказывание, истинно.

5)

Это высказывание о существовании, на что указывает символ $\exists$ ("существует"). $R$ - множество дробей (рациональных чисел).

Высказывание истинно. Нужно доказать, что существует хотя бы одна дробь $a$, для которой выполняется неравенство $5 \cdot a < 5$.

Решим неравенство:

$5 \cdot a < 5$
Разделим обе части на 5 (это положительное число, знак неравенства не меняется):

$a < 1$
Нам нужно найти хотя бы одно рациональное число (дробь), которое меньше 1. Например, $a = 0$ или $a = \frac{1}{2}$. Оба эти числа являются дробями.

Проверим для $a = \frac{1}{2}$: $5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$. $2.5 < 5$. Неравенство выполняется.

Ответ: высказывание о существовании, истинно.

6)

Это высказывание о существовании, на что указывает символ $\exists$. $R$ - множество дробей (рациональных чисел).

Высказывание истинно. Нужно доказать, что существует хотя бы одна дробь $b$, для которой выполняется неравенство $24 : b > 24$.

Преобразуем неравенство $\frac{24}{b} > 24$.

Чтобы частное было больше делимого, делитель должен быть положительным числом, меньшим 1. То есть $0 < b < 1$.

Возьмем в качестве примера дробь $b = \frac{1}{2}$. Это число удовлетворяет условию $0 < \frac{1}{2} < 1$.

Проверим неравенство: $24 : \frac{1}{2} = 24 \cdot 2 = 48$.

$48 > 24$. Неравенство выполняется.

Ответ: высказывание о существовании, истинно.

7)

Это высказывание о существовании ($\exists$). $N$ - множество натуральных чисел ($N = \{1, 2, 3, ...\}$).

Высказывание ложно. Нужно доказать, что не существует натурального числа $c$, для которого $24 : c > 24$.

Рассмотрим неравенство $\frac{24}{c} > 24$.

Поскольку $c$ - натуральное число, то $c > 0$. Мы можем умножить обе части неравенства на $c$, сохранив знак:

$24 > 24c$
Разделим обе части на 24:

$1 > c$
Неравенство $c < 1$ не имеет решений в множестве натуральных чисел, так как самое маленькое натуральное число - это 1.

Ответ: высказывание о существовании, ложно.

8)

Это высказывание о существовании ($\exists$). $N$ - множество натуральных чисел.

Высказывание истинно. Нужно доказать, что существует хотя бы одно натуральное число $d$, для которого выполняется неравенство $24 : d \ge 24$.

Рассмотрим неравенство $\frac{24}{d} \ge 24$.

Поскольку $d$ - натуральное число, то $d > 0$. Умножим обе части на $d$:

$24 \ge 24d$
Разделим обе части на 24:

$1 \ge d$
В множестве натуральных чисел этому неравенству удовлетворяет единственное число: $d = 1$.

Проверим для $d=1$: $24 : 1 = 24$. Неравенство $24 \ge 24$ является верным.

Так как мы нашли одно такое натуральное число, высказывание истинно.

Ответ: высказывание о существовании, истинно.