Номер 1081, страница 224, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1081 Практическая работа

1) Начерти окружность произвольного радиуса. Измерь с помощью нитки длину окружности и найди отношение длины окружности к её диаметру. Повтори эксперимент ещё 2 раза. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

2) Измерь с помощью палетки площадь произвольного круга. Найди отношение площади круга к квадрату его радиуса. Повтори эксперимент ещё 2 раза. Сформулируй гипотезу.

1)

Для выполнения этого задания необходимо провести три эксперимента с окружностями разных радиусов.

Процесс измерения:

1. С помощью циркуля чертим на бумаге окружность произвольного радиуса.
2. С помощью линейки измеряем её диаметр $d$. Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через её центр. Он равен двум радиусам ($d=2r$).
3. Берём нитку, аккуратно укладываем её по всей длине начерченной окружности и отмечаем или отрезаем её.
4. Распрямляем нитку и измеряем её длину с помощью линейки. Эта длина и есть длина окружности $C$.
5. Находим отношение длины окружности $C$ к её диаметру $d$, то есть вычисляем $\frac{C}{d}$.

Проведём эксперименты:

Эксперимент 1:
Пусть мы начертили окружность и измерили её диаметр: $d_1 = 5$ см.
Измерив длину окружности с помощью нитки, получили: $C_1 \approx 15,7$ см.
Найдём отношение: $\frac{C_1}{d_1} \approx \frac{15,7}{5} = 3,14$.

Эксперимент 2:
Начертим окружность большего размера. Пусть её диаметр $d_2 = 8$ см.
Измерив длину этой окружности ниткой, получили: $C_2 \approx 25,1$ см.
Найдём отношение: $\frac{C_2}{d_2} \approx \frac{25,1}{8} \approx 3,1375$.

Эксперимент 3:
Начертим маленькую окружность. Пусть её диаметр $d_3 = 3$ см.
Измерив длину окружности, получили: $C_3 \approx 9,4$ см.
Найдём отношение: $\frac{C_3}{d_3} \approx \frac{9,4}{3} \approx 3,133...$.

Наблюдение:
Во всех трёх экспериментах, несмотря на разные размеры окружностей, отношение длины окружности к её диаметру получается очень близким к одному и тому же числу, примерно равному 3,14. Небольшие различия в результатах объясняются погрешностями измерений ниткой и линейкой.

Гипотеза:
Отношение длины любой окружности к её диаметру является постоянной величиной (константой). Эта величина обозначается греческой буквой $\pi$ (пи) и её значение приблизительно равно 3,14. Таким образом, $\frac{C}{d} = \pi$.

Ответ: Гипотеза состоит в том, что отношение длины окружности к её диаметру есть число постоянное, не зависящее от радиуса окружности. Это число обозначают буквой $\pi \approx 3,14$.

2)

Для этого задания мы будем использовать палетку — прозрачную плёнку с нанесённой на неё сеткой из квадратов известной площади (например, 1 см²).

Процесс измерения:

1. Начертим круг произвольного радиуса $r$.
2. Накладываем на круг палетку и подсчитываем количество целых квадратных сантиметров (или других единиц), которые поместились внутри круга.
3. Подсчитываем количество неполных квадратов, которые пересекает граница круга. Примерно можно считать, что два неполных квадрата в среднем составляют один полный. Таким образом, число неполных квадратов делим на два.
4. Суммируем количество целых квадратов и полученное число из неполных. Это будет примерная площадь круга $A$.
5. Вычисляем квадрат радиуса круга, $r^2$.
6. Находим отношение площади круга $A$ к квадрату его радиуса $r^2$, то есть вычисляем $\frac{A}{r^2}$.

Проведём эксперименты:

Эксперимент 1:
Пусть мы начертили круг радиусом $r_1 = 3$ см. Квадрат радиуса: $r_1^2 = 3^2 = 9$ см².
Подсчёт по палетке дал примерно 28 квадратных сантиметров. $A_1 \approx 28$ см².
Найдём отношение: $\frac{A_1}{r_1^2} \approx \frac{28}{9} \approx 3,11$.

Эксперимент 2:
Начертим круг радиусом $r_2 = 4$ см. Квадрат радиуса: $r_2^2 = 4^2 = 16$ см².
Подсчёт по палетке дал примерно 50 квадратных сантиметров. $A_2 \approx 50$ см².
Найдём отношение: $\frac{A_2}{r_2^2} \approx \frac{50}{16} = 3,125$.

Эксперимент 3:
Начертим круг радиусом $r_3 = 2$ см. Квадрат радиуса: $r_3^2 = 2^2 = 4$ см².
Подсчёт по палетке дал примерно 12,5 квадратных сантиметров. $A_3 \approx 12,5$ см².
Найдём отношение: $\frac{A_3}{r_3^2} \approx \frac{12,5}{4} = 3,125$.

Наблюдение:
Во всех трёх случаях отношение площади круга к квадрату его радиуса получается примерно одним и тем же числом, близким к 3,14. Расхождения связаны с неточностью метода измерения площади с помощью палетки.

Гипотеза:
Отношение площади любого круга к квадрату его радиуса является постоянной величиной. Примечательно, что эта величина совпадает с той, что была получена в первом задании, то есть с числом $\pi$. Таким образом, $\frac{A}{r^2} = \pi$, откуда следует известная формула площади круга: $A = \pi r^2$.

Ответ: Гипотеза состоит в том, что отношение площади круга к квадрату его радиуса есть число постоянное, равное числу $\pi \approx 3,14$.