Номер 1075, страница 222, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1075 Как изменяется частное двух чисел при изменении делимого и делителя? Что произойдёт с частным, если округлить:

а) делимое с избытком;

б) делимое с недостатком;

в) делитель с избытком;

г) делитель с недостатком;

д) делимое и делитель с недостатком;

е) делимое и делитель с избытком;

ж) делимое с избытком, а делитель с недостатком;

з) делимое с недостатком, а делитель с избытком?

Для анализа изменения частного представим деление в виде дроби $q = \frac{a}{b}$, где $a$ – делимое, а $b$ – делитель. Мы будем рассматривать, как изменяется значение этой дроби (частное) в зависимости от изменений числителя ($a$) и знаменателя ($b$). Будем считать, что и делимое, и делитель – положительные числа. Округление с избытком означает увеличение числа, а округление с недостатком – уменьшение.

а) делимое с избытком
Если округлить делимое с избытком, то его значение увеличится. Пусть новое делимое $a' > a$. Делитель $b$ остается прежним. Новое частное $q' = \frac{a'}{b}$. Так как $a' > a$ и $b > 0$, то $\frac{a'}{b} > \frac{a}{b}$, то есть $q' > q$.
Ответ: частное увеличится.

б) делимое с недостатком
Если округлить делимое с недостатком, то его значение уменьшится. Пусть новое делимое $a' < a$. Делитель $b$ остается прежним. Новое частное $q' = \frac{a'}{b}$. Так как $a' < a$ и $b > 0$, то $\frac{a'}{b} < \frac{a}{b}$, то есть $q' < q$.
Ответ: частное уменьшится.

в) делитель с избытком
Если округлить делитель с избытком, то его значение увеличится. Пусть новый делитель $b' > b$. Делимое $a$ остается прежним. Новое частное $q' = \frac{a}{b'}$. Так как знаменатель дроби увеличился ($b' > b$), а числитель ($a > 0$) остался прежним, значение дроби уменьшится. То есть $q' < q$.
Ответ: частное уменьшится.

г) делитель с недостатком
Если округлить делитель с недостатком, то его значение уменьшится. Пусть новый делитель $b' < b$. Делимое $a$ остается прежним. Новое частное $q' = \frac{a}{b'}$. Так как знаменатель дроби уменьшился ($b' < b$), а числитель ($a > 0$) остался прежним, значение дроби увеличится. То есть $q' > q$.
Ответ: частное увеличится.

д) делимое и делитель с недостатком
В этом случае уменьшается и делимое ($a' < a$), и делитель ($b' < b$). Уменьшение числителя стремится уменьшить частное, а уменьшение знаменателя – увеличить его. Итоговый результат зависит от величины изменений. Например, для частного $10 : 5 = 2$ возможны разные исходы: если округлить 10 до 8, а 5 до 4, то новое частное будет $8 : 4 = 2$ (не изменилось); если округлить 10 до 9, а 5 до 3, то новое частное будет $9 : 3 = 3$ (увеличилось); если округлить 10 до 6, а 5 до 4, то новое частное будет $6 : 4 = 1.5$ (уменьшилось). Поэтому однозначно определить изменение частного нельзя.
Ответ: частное может увеличиться, уменьшиться или не измениться.

е) делимое и делитель с избытком
В этом случае увеличивается и делимое ($a' > a$), и делитель ($b' > b$). Увеличение числителя стремится увеличить частное, а увеличение знаменателя – уменьшить его. Итоговый результат зависит от величины изменений. Например, для частного $10 : 5 = 2$ возможны разные исходы: если округлить 10 до 12, а 5 до 6, то новое частное будет $12 : 6 = 2$ (не изменилось); если округлить 10 до 15, а 5 до 6, то новое частное будет $15 : 6 = 2.5$ (увеличилось); если округлить 10 до 11, а 5 до 6, то новое частное будет $11 : 6 \approx 1.83$ (уменьшилось). Поэтому однозначно определить изменение частного нельзя.
Ответ: частное может увеличиться, уменьшиться или не измениться.

ж) делимое с избытком, а делитель – с недостатком
В этом случае делимое увеличивается ($a' > a$), а делитель уменьшается ($b' < b$). Увеличение числителя и уменьшение знаменателя оба ведут к увеличению значения дроби. Так как $a' > a$ и $b' < b$, то $\frac{a'}{b'} > \frac{a}{b}$. Следовательно, частное однозначно увеличится.
Ответ: частное увеличится.

з) делимое с недостатком, а делитель – с избытком
В этом случае делимое уменьшается ($a' < a$), а делитель увеличивается ($b' > b$). Уменьшение числителя и увеличение знаменателя оба ведут к уменьшению значения дроби. Так как $a' < a$ и $b' > b$, то $\frac{a'}{b'} < \frac{a}{b}$. Следовательно, частное однозначно уменьшится.
Ответ: частное уменьшится.