Номер 1072, страница 221, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1072 1) Два поезда — пассажирский и товарный — выехали одновременно в одном направлении из двух городов, удалённых друг от друга на расстояние 52,8 км. Через 1,75 ч расстояние между поездами увеличилось до 75,2 км. Найди скорости поездов, если скорость товарного поезда составляет 84 % скорости пассажирского поезда.

2) По реке плывёт плот. Через 1,4 ч после того, как он проплыл мимо пристани, от этой пристани вниз по реке отправилась лодка. Через 0,5 ч после своего выхода лодка догнала плот. С какой скоростью плыла лодка, если известно, что скорость лодки больше скорости плота на 7 км/ч?

1)

Пусть $v_п$ — скорость пассажирского поезда в км/ч, а $v_т$ — скорость товарного поезда в км/ч.

Поезда выехали одновременно в одном направлении. Начальное расстояние между ними было $S_0 = 52,8$ км. Через время $t = 1,75$ ч расстояние между ними стало $S_1 = 75,2$ км.

За это время расстояние между поездами увеличилось на величину $\Delta S = S_1 - S_0 = 75,2 - 52,8 = 22,4$ км.

Так как поезда движутся в одном направлении и расстояние между ними увеличивается, это означает, что тот поезд, который находится впереди, движется с большей скоростью. Скорость, с которой поезда удаляются друг от друга (скорость удаления), равна разности их скоростей.

Из условия известно, что скорость товарного поезда составляет 84% скорости пассажирского: $v_т = 0,84 \cdot v_п$. Отсюда следует, что $v_п > v_т$, значит, пассажирский поезд едет быстрее. Чтобы расстояние увеличивалось, пассажирский поезд должен был стартовать из города, который находился впереди по ходу движения.

Скорость удаления поездов равна $v_{уд} = v_п - v_т$. Эту скорость можно найти, разделив увеличение расстояния на время:

$v_{уд} = \frac{\Delta S}{t} = \frac{22,4}{1,75} = 12,8$ км/ч.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1. $v_п - v_т = 12,8$
2. $v_т = 0,84 \cdot v_п$

Подставим второе уравнение в первое:

$v_п - (0,84 \cdot v_п) = 12,8$
$v_п \cdot (1 - 0,84) = 12,8$
$0,16 \cdot v_п = 12,8$

Отсюда находим скорость пассажирского поезда:

$v_п = \frac{12,8}{0,16} = \frac{1280}{16} = 80$ км/ч.

Теперь находим скорость товарного поезда:

$v_т = 0,84 \cdot v_п = 0,84 \cdot 80 = 67,2$ км/ч.

Ответ: скорость пассажирского поезда — 80 км/ч, скорость товарного поезда — 67,2 км/ч.

2)

Пусть $v_{пл}$ — скорость плота, которая равна скорости течения реки, а $v_{л}$ — собственная скорость лодки (в стоячей воде). Скорость лодки по течению реки равна $v_{л} + v_{пл}$.

По условию, скорость лодки больше скорости плота на 7 км/ч. Речь идет о скоростях относительно берега. Таким образом, $(v_{л} + v_{пл}) - v_{пл} = 7$ км/ч. Отсюда следует, что собственная скорость лодки $v_{л} = 7$ км/ч. Эта величина также является скоростью сближения лодки и плота, когда они движутся в одном направлении.

Плот проплыл мимо пристани, и только через 1,4 ч от этой же пристани отправилась лодка. За эти 1,4 ч плот успел отплыть от пристани на расстояние $S_{отр} = v_{пл} \cdot 1,4$. Это расстояние лодке нужно было преодолеть, чтобы догнать плот.

Лодка догнала плот за $t = 0,5$ ч. Расстояние, на которое лодка догоняет плот, равно произведению скорости сближения на время: $S_{отр} = v_{сбл} \cdot t$.

Мы знаем, что $v_{сбл} = v_{л} = 7$ км/ч. Составим уравнение:
$v_{пл} \cdot 1,4 = 7 \cdot 0,5$
$1,4 \cdot v_{пл} = 3,5$

Найдем скорость плота (и течения реки):

$v_{пл} = \frac{3,5}{1,4} = \frac{35}{14} = \frac{5}{2} = 2,5$ км/ч.

Вопрос задачи — найти, с какой скоростью плыла лодка. Имеется в виду ее скорость относительно берега (по течению реки).

Скорость лодки по течению равна сумме ее собственной скорости и скорости течения:
$v_{лодки} = v_{л} + v_{пл} = 7 + 2,5 = 9,5$ км/ч.

Ответ: скорость лодки 9,5 км/ч.