Номер 1066, страница 220, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1066 В 8 ч утра из пункта $A$ в пункт $B$ выехал автобус со скоростью $45.6$ км/ч, а в 9 ч утра из того же пункта в том же направлении выехала легковая машина. Автобус, двигаясь без остановок, прибыл в пункт $B$ в 14 ч, а легковая машина – в 13 ч 30 мин.

На каком расстоянии от $A$ машина догнала автобус?

В котором часу это произошло?

Какое расстояние было между машиной и автобусом за полчаса до встречи и через полчаса после встречи?

Для решения задачи сначала найдем все необходимые данные: расстояние от пункта А до пункта В и скорость легковой машины.

1. Находим расстояние от А до В.

Автобус выехал в 8:00 и прибыл в 14:00. Следовательно, время в пути для автобуса составило:

$t_{автобуса} = 14:00 - 8:00 = 6$ часов.

Скорость автобуса по условию: $v_{автобуса} = 45,6$ км/ч.

Расстояние $S_{АВ}$ между пунктами А и В равно произведению скорости на время:

$S_{АВ} = v_{автобуса} \cdot t_{автобуса} = 45,6 \text{ км/ч} \cdot 6 \text{ ч} = 273,6$ км.

2. Находим скорость легковой машины.

Легковая машина выехала в 9:00 и прибыла в 13:30. Время в пути для машины:

$t_{машины} = 13:30 - 9:00 = 4$ часа 30 минут $= 4,5$ часа.

Машина прошла то же расстояние $S_{АВ} = 273,6$ км. Следовательно, её скорость равна:

$v_{машины} = \frac{S_{АВ}}{t_{машины}} = \frac{273,6 \text{ км}}{4,5 \text{ ч}} = 60,8$ км/ч.

Теперь, зная все необходимые параметры, ответим на вопросы задачи.

На каком расстоянии от А машина догнала автобус?

Легковая машина выехала на 1 час позже автобуса ($9:00 - 8:00 = 1$ час). К моменту выезда машины, автобус уже успел отъехать от пункта А на расстояние:

$S_{форы} = v_{автобуса} \cdot 1 \text{ ч} = 45,6 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 45,6$ км.

Машина догоняет автобус со скоростью сближения, которая равна разности их скоростей:

$v_{сближения} = v_{машины} - v_{автобуса} = 60,8 \text{ км/ч} - 45,6 \text{ км/ч} = 15,2$ км/ч.

Время, которое потребовалось машине, чтобы догнать автобус (то есть сократить начальное расстояние в 45,6 км до нуля), составляет:

$t_{встречи} = \frac{S_{форы}}{v_{сближения}} = \frac{45,6 \text{ км}}{15,2 \text{ км/ч}} = 3$ часа.

Встреча произошла через 3 часа после выезда машины. Чтобы найти расстояние от пункта А, на котором это случилось, умножим скорость машины на это время:

$S_{от\,А} = v_{машины} \cdot t_{встречи} = 60,8 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 182,4$ км.

Ответ: машина догнала автобус на расстоянии 182,4 км от пункта А.

В котором часу это произошло?

Машина выехала из пункта А в 9:00. Как мы выяснили, встреча произошла через 3 часа после ее выезда.

Время встречи: $9:00 + 3 \text{ часа} = 12:00$.

Ответ: это произошло в 12 часов дня.

Какое расстояние было между машиной и автобусом за полчаса до встречи и через полчаса после встречи?

Скорость, с которой машина сначала догоняет автобус (скорость сближения), а затем, после обгона, удаляется от него (скорость удаления), постоянна и равна 15,2 км/ч. Полчаса - это 0,5 часа.

Расстояние, на которое они сблизятся за полчаса до встречи, равно расстоянию, на которое они удалятся друг от друга за полчаса после встречи. Это расстояние можно найти, умножив скорость сближения/удаления на время:

$\Delta S = 15,2 \text{ км/ч} \cdot 0,5 \text{ ч} = 7,6$ км.

Таким образом, за полчаса до встречи автобус был впереди машины на 7,6 км, а через полчаса после встречи машина опережала автобус на 7,6 км.

Ответ: за полчаса до встречи и через полчаса после встречи расстояние между ними было 7,6 км.