Номер 1124, страница 231, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1124 Вася и Петя, поссорившись, разбежались с одинаковыми скоростями в противоположных направлениях. Через 5 мин Вася спохватился, повернул назад и, увеличив скорость, побежал догонять Петю. Во сколько раз увеличил скорость Вася, если он догнал Петю через 5 мин после того, как повернул назад?

Для решения задачи введем обозначения. Пусть $v$ – первоначальная одинаковая скорость Васи и Пети. Пусть $t_1 = 5$ мин – время, в течение которого они разбегались, а $t_2 = 5$ мин – время, в течение которого Вася догонял Петю.

Примем точку, из которой они начали движение, за начало отсчета (координата 0). Пусть Петя бежал в положительном направлении, а Вася – в отрицательном. Через $t_1 = 5$ минут координата Пети стала $x_П(t_1) = v \cdot t_1 = 5v$, а координата Васи – $x_В(t_1) = -v \cdot t_1 = -5v$.

После этого Вася повернул назад и начал догонять Петю с новой, увеличенной скоростью $v_В'$. Погоня длилась $t_2 = 5$ мин. Найдем, в какой точке произошла встреча. Общее время движения Пети с начального момента составит $t_{общ} = t_1 + t_2 = 5 + 5 = 10$ мин. За это время, двигаясь с постоянной скоростью $v$, он окажется в точке с координатой:

$x_{встречи} = v \cdot t_{общ} = v \cdot 10 = 10v$.

Чтобы догнать Петю, Вася также должен оказаться в этой точке в этот же момент времени. В начале погони (при $t_1 = 5$ мин) Вася находился в точке с координатой $-5v$. За время погони $t_2 = 5$ мин ему нужно было переместиться из точки $-5v$ в точку $10v$. Расстояние, которое он пробежал, составляет:

$S_В' = x_{встречи} - x_В(t_1) = 10v - (-5v) = 15v$.

Зная расстояние $S_В'$ и время $t_2$, за которое Вася его преодолел, найдем его новую скорость $v_В'$:

$v_В' = \frac{S_В'}{t_2} = \frac{15v}{5} = 3v$.

Вопрос задачи – во сколько раз Вася увеличил скорость. Для этого найдем отношение его новой скорости $v_В'$ к первоначальной $v$:

$\frac{v_В'}{v} = \frac{3v}{v} = 3$.

Ответ: в 3 раза.