Номер 361, страница 75, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

361 Найди общие высказывания и высказывания о существовании. Докажи или опровергни их.

1) У всякого числа имеется обратное.

2) Дробь, обратная неправильной дроби, является правильной.

3) Дробь, обратная правильной дроби, является неправильной.

4) Существует число, обратное самому себе.

5) Из двух взаимно обратных дробей одна обязательно является правильной, а другая — неправильной.

6) Произведение двух взаимно обратных дробей может быть больше $1$.

1) Это общее высказывание. Оно ложно. Обратное число для числа a — это $1/a$. Для числа $a=0$ обратного числа не существует, так как деление на ноль не определено. Поскольку утверждение должно быть верным для всякого числа, а для числа 0 оно не выполняется, то всё высказывание ложно.
Ответ: Ложно.

2) Это общее высказывание. Оно ложно. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю ($a/b$, где $a \ge b > 0$). Если рассмотреть случай, когда числитель равен знаменателю, например, дробь $7/7$, то она является неправильной. Обратная ей дробь также будет $7/7$, которая тоже является неправильной, а не правильной, как утверждается в высказывании. Таким образом, найден контрпример.
Ответ: Ложно.

3) Это общее высказывание. Оно истинно. Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя ($a/b$, где $0 < a < b$). Это означает, что значение такой дроби меньше 1. Обратная ей дробь будет $b/a$. Так как $b > a$, у обратной дроби числитель будет больше знаменателя, а значит, она будет неправильной, и ее значение будет больше 1. Это справедливо для любой правильной дроби.
Ответ: Истинно.

4) Это высказывание о существовании. Оно истинно. Нужно найти число $x$, которое равно обратному самому себе, то есть удовлетворяет уравнению $x = 1/x$. Если предположить, что $x \ne 0$, и умножить обе части уравнения на $x$, получим $x^2 = 1$. Это уравнение имеет два корня: $x=1$ и $x=-1$. Оба этих числа являются обратными самим себе. Так как мы смогли найти хотя бы одно такое число, утверждение является истинным.
Ответ: Истинно.

5) Это общее высказывание. Оно ложно. Хотя для многих пар это верно (например, для правильной дроби $2/3$ обратной является неправильная $3/2$), существует исключение. Рассмотрим число 1. Его можно представить как неправильную дробь $1/1$. Обратным к нему числом является также 1 (или дробь $1/1$), которое тоже является неправильной дробью. Таким образом, в паре взаимно обратных дробей ($1/1$, $1/1$) нет правильной дроби.
Ответ: Ложно.

6) Это высказывание о существовании. Оно ложно. По определению, два числа $a$ и $b$ называются взаимно обратными, если их произведение равно 1, то есть $a \cdot b = 1$. Таким образом, произведение любых двух взаимно обратных дробей всегда в точности равно 1. Оно не может быть больше 1, поэтому таких дробей не существует.
Ответ: Ложно.