Номер 358, страница 72, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

358 Докажи истинность высказывания:

1) $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{16} < 4$;

2) $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{64} < 6$.

250 *

1) Для доказательства истинности высказывания $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{16} < 4$ сгруппируем слагаемые и оценим их сумму сверху.

Обозначим сумму как $S$. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$S = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}) + (\frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{15}) + \frac{1}{16}$

Теперь оценим каждую группу:

1. Первая группа: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6}$.

2. Вторая группа: $(\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7})$. В этой группе 4 слагаемых. Каждое из них (кроме первого) меньше $\frac{1}{4}$, а первое равно $\frac{1}{4}$. Поэтому их сумма строго меньше, чем сумма четырех слагаемых, равных $\frac{1}{4}$:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} < \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.

3. Третья группа: $(\frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{15})$. В этой группе 8 слагаемых. Каждое из них меньше или равно $\frac{1}{8}$. Их сумма строго меньше, чем сумма восьми слагаемых, равных $\frac{1}{8}$:

$\frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{15} < \frac{1}{8} \cdot 8 = 1$.

4. Последнее слагаемое: $\frac{1}{16}$.

Теперь сложим полученные оценки:

$S < \frac{11}{6} + 1 + 1 + \frac{1}{16} = \frac{11}{6} + 2 + \frac{1}{16}$

Приведем к общему знаменателю 48:

$S < \frac{11 \cdot 8}{48} + \frac{2 \cdot 48}{48} + \frac{1 \cdot 3}{48} = \frac{88 + 96 + 3}{48} = \frac{187}{48}$

Чтобы сравнить $\frac{187}{48}$ с 4, представим 4 в виде дроби со знаменателем 48: $4 = \frac{4 \cdot 48}{48} = \frac{192}{48}$.

Так как $187 < 192$, то $\frac{187}{48} < \frac{192}{48}$, следовательно, $S < 4$.

Ответ: Утверждение $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{16} < 4$ истинно, что и требовалось доказать.

2) Для доказательства истинности высказывания $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{64} < 6$ также применим метод группировки и оценки сверху.

Обозначим сумму как $S$. Сгруппируем слагаемые:

$S = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8}) + (\frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{16}) + (\frac{1}{17} + \dots + \frac{1}{32}) + (\frac{1}{33} + \dots + \frac{1}{64})$

Оценим каждую группу:

1. Первая группа: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{12+6+4+3}{12} = \frac{25}{12}$.

2. Для остальных групп применим оценку, заменяя каждое слагаемое наибольшим в группе (первым слагаемым). Так как все остальные слагаемые в группе строго меньше первого, неравенство будет строгим.

Вторая группа: $(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8})$. Здесь 4 слагаемых.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} < \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

Третья группа: $(\frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{16})$. Здесь 8 слагаемых.

$\frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{16} < 8 \cdot \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

Четвертая группа: $(\frac{1}{17} + \dots + \frac{1}{32})$. Здесь 16 слагаемых.

$\frac{1}{17} + \dots + \frac{1}{32} < 16 \cdot \frac{1}{17} = \frac{16}{17}$.

Пятая группа: $(\frac{1}{33} + \dots + \frac{1}{64})$. Здесь 32 слагаемых.

$\frac{1}{33} + \dots + \frac{1}{64} < 32 \cdot \frac{1}{33} = \frac{32}{33}$.

Все полученные дроби $\frac{4}{5}, \frac{8}{9}, \frac{16}{17}, \frac{32}{33}$ очевидно меньше 1.

Сложим полученные оценки:

$S < \frac{25}{12} + \frac{4}{5} + \frac{8}{9} + \frac{16}{17} + \frac{32}{33}$

Заменим все дроби, кроме первой, единицей для более простой оценки:

$S < \frac{25}{12} + 1 + 1 + 1 + 1 = \frac{25}{12} + 4 = \frac{25+48}{12} = \frac{73}{12} = 6 + \frac{1}{12}$.

Эта оценка ($S < 6 + \frac{1}{12}$) недостаточна для доказательства $S < 6$. Однако мы можем улучшить ее. Давайте докажем, что сумма всех групп после первой меньше 4.

Рассмотрим сумму $R = (\frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8}) + (\frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{16}) + (\frac{1}{17} + \dots + \frac{1}{32}) + (\frac{1}{33} + \dots + \frac{1}{64})$.

Каждая из трех последних групп меньше 1. Оценим первую группу в $R$ точнее: $\frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8} < 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

Тогда $R < \frac{4}{5} + 1 + 1 + 1 = 3 + \frac{4}{5} = \frac{19}{5} = 3.8$.

Теперь сложим с первой группой: $S < \frac{25}{12} + R < \frac{25}{12} + \frac{19}{5}$.

Приведем к общему знаменателю 60:

$S < \frac{25 \cdot 5}{60} + \frac{19 \cdot 12}{60} = \frac{125 + 228}{60} = \frac{353}{60}$.

Сравним $\frac{353}{60}$ с 6. $6 = \frac{6 \cdot 60}{60} = \frac{360}{60}$.

Так как $353 < 360$, то $\frac{353}{60} < \frac{360}{60}$, следовательно, $S < 6$.

Ответ: Утверждение $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{64} < 6$ истинно, что и требовалось доказать.