Номер 352, страница 71, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

352 Построй математическую модель задачи и найди ответ методом перебора.

1) Произведение двух натуральных чисел равно 72. Найти эти числа, если одно из них больше другого на 6.

2) На турбазе имеются палатки и домики, общее число которых равно 25. В каждом домике живут 4 человека, а в палатке – 2 человека. Сколько на турбазе палаток и сколько домиков, если всего на этой турбазе отдыхают 70 человек?

3) Прямоугольный участок земли обнесён забором, длина которого 40 м. Площадь участка 96 $м^2$. Найти длины сторон этого участка, если известно, что они выражаются натуральными числами.

1)

Построим математическую модель. Пусть первое натуральное число — это $a$, а второе — $b$. По условию задачи, их произведение равно 72, а одно из чисел больше другого на 6. Запишем эти условия в виде системы уравнений:

$a \cdot b = 72$

$a = b + 6$

Чтобы решить задачу методом перебора, найдём все пары натуральных чисел, произведение которых равно 72. Затем проверим, для какой из этих пар разность чисел составляет 6.

Пары множителей числа 72 и их разность:

1 и 72. Разность: $72 - 1 = 71$. Не подходит.

2 и 36. Разность: $36 - 2 = 34$. Не подходит.

3 и 24. Разность: $24 - 3 = 21$. Не подходит.

4 и 18. Разность: $18 - 4 = 14$. Не подходит.

6 и 12. Разность: $12 - 6 = 6$. Подходит.

8 и 9. Разность: $9 - 8 = 1$. Не подходит.

Таким образом, единственная пара чисел, удовлетворяющая обоим условиям, — это 6 и 12.

Ответ: 6 и 12.

2)

Построим математическую модель. Пусть $x$ — это количество палаток, а $y$ — количество домиков. Согласно условию, общее число палаток и домиков равно 25. В каждой палатке проживает 2 человека, а в каждом домике — 4 человека, при этом всего на турбазе отдыхают 70 человек. Составим систему уравнений:

$x + y = 25$ (общее количество мест для проживания)

$2x + 4y = 70$ (общее количество отдыхающих)

Решим задачу методом перебора. Из первого уравнения можно выразить $y$ через $x$: $y = 25 - x$. Будем подставлять различные целые неотрицательные значения для $x$ (количество палаток), вычислять соответствующее количество домиков $y$ и проверять, выполняется ли условие по общему числу человек.

Предположим, что на турбазе 10 палаток ($x=10$). Тогда домиков будет $y = 25 - 10 = 15$. Проверим, сколько всего человек в этом случае: $2 \cdot 10 + 4 \cdot 15 = 20 + 60 = 80$ человек. Это больше, чем 70, значит, наше предположение неверно.

Так как 80 > 70, необходимо увеличить количество палаток, в которых живёт меньше людей. Попробуем взять $x=15$. Тогда количество домиков $y = 25 - 15 = 10$. Проверим общее число людей: $2 \cdot 15 + 4 \cdot 10 = 30 + 40 = 70$ человек. Это значение соответствует условию задачи.

Следовательно, на турбазе 15 палаток и 10 домиков.

Ответ: 15 палаток и 10 домиков.

3)

Построим математическую модель. Пусть $a$ и $b$ — это длины сторон прямоугольного участка в метрах. По условию, они выражаются натуральными числами.

Длина забора является периметром прямоугольника, который равен 40 м. Формула периметра: $P = 2(a + b)$. Отсюда получаем:

$2(a + b) = 40$, что равносильно $a + b = 20$.

Площадь участка равна 96 м². Формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$. Отсюда:

$a \cdot b = 96$.

Решим задачу методом перебора. Нам нужно найти два натуральных числа, сумма которых равна 20, а произведение — 96. Будем перебирать пары чисел, дающих в сумме 20, и проверять их произведение.

Если $a=1$, то $b=19$. Произведение: $1 \cdot 19 = 19$. Не подходит.

Если $a=2$, то $b=18$. Произведение: $2 \cdot 18 = 36$. Не подходит.

Если $a=3$, то $b=17$. Произведение: $3 \cdot 17 = 51$. Не подходит.

Если $a=4$, то $b=16$. Произведение: $4 \cdot 16 = 64$. Не подходит.

Если $a=5$, то $b=15$. Произведение: $5 \cdot 15 = 75$. Не подходит.

Если $a=6$, то $b=14$. Произведение: $6 \cdot 14 = 84$. Не подходит.

Если $a=7$, то $b=13$. Произведение: $7 \cdot 13 = 91$. Не подходит.

Если $a=8$, то $b=12$. Произведение: $8 \cdot 12 = 96$. Подходит.

Таким образом, длины сторон участка равны 8 м и 12 м.

Ответ: 8 м и 12 м.