Номер 347, страница 70, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

347 Приведи дроби к несократимому виду, если $a, b, c \in \textit{N}$:

a) $\frac{840}{1764}$;

б) $\frac{25 \cdot 2525 \cdot 2525}{75 \cdot 75 \cdot 7575}$;

в) $\frac{4^6}{4^7}$;

г) $\frac{8^5}{8^3}$;

д) $\frac{2^3 \cdot 3 \cdot 5^4}{2 \cdot 3^2 \cdot 5^6}$;

е) $\frac{a \cdot b^2 \cdot c}{a^2 \cdot b \cdot c^3}$.

а) Чтобы привести дробь к несократимому виду, разложим числитель и знаменатель на простые множители.

Числитель: $840 = 84 \cdot 10 = (4 \cdot 21) \cdot (2 \cdot 5) = (2^2 \cdot 3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Знаменатель: $1764 = 4 \cdot 441 = 4 \cdot 21^2 = 2^2 \cdot (3 \cdot 7)^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2$.

Теперь запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем и сократим общие множители:

$\frac{840}{1764} = \frac{2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = \frac{2^{3-2} \cdot 5}{3^{2-1} \cdot 7^{2-1}} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21}$.

Ответ: $\frac{10}{21}$.

б) Заметим, что числа в числителе и знаменателе можно представить в виде произведений:

$2525 = 25 \cdot 101$

$252525 = 25 \cdot 10101$

$75 = 3 \cdot 25$

$7575 = 75 \cdot 101$

$757575 = 75 \cdot 10101$

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$\frac{25 \cdot 252525 \cdot 2525}{7575 \cdot 75 \cdot 757575} = \frac{25 \cdot (25 \cdot 10101) \cdot (25 \cdot 101)}{(75 \cdot 101) \cdot 75 \cdot (75 \cdot 10101)}$

Сгруппируем множители и сократим общие части ($101$ и $10101$):

$\frac{(25 \cdot 25 \cdot 25) \cdot 10101 \cdot 101}{(75 \cdot 75 \cdot 75) \cdot 101 \cdot 10101} = \frac{25^3}{75^3} = (\frac{25}{75})^3$

Так как $\frac{25}{75} = \frac{1}{3}$, то получаем:

$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$.

Ответ: $\frac{1}{27}$.

в) Используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{4^6}{4^7} = 4^{6-7} = 4^{-1} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

г) Используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{8^5}{8^3} = 8^{5-3} = 8^2 = 64$.

Ответ: $64$.

д) Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и используем свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{2^3 \cdot 3 \cdot 5^4}{2 \cdot 3^2 \cdot 5^6} = \frac{2^3}{2^1} \cdot \frac{3^1}{3^2} \cdot \frac{5^4}{5^6} = 2^{3-1} \cdot 3^{1-2} \cdot 5^{4-6} = 2^2 \cdot 3^{-1} \cdot 5^{-2}$.

Запишем степени с отрицательными показателями в знаменатель:

$2^2 \cdot \frac{1}{3^1} \cdot \frac{1}{5^2} = \frac{4}{3 \cdot 25} = \frac{4}{75}$.

Ответ: $\frac{4}{75}$.

е) Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и используем свойство $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ (учитывая, что $a=a^1, b=b^1, c=c^1$):

$\frac{a \cdot b^2 \cdot c}{a^2 \cdot b \cdot c^3} = \frac{a^1}{a^2} \cdot \frac{b^2}{b^1} \cdot \frac{c^1}{c^3} = a^{1-2} \cdot b^{2-1} \cdot c^{1-3} = a^{-1} \cdot b^1 \cdot c^{-2}$.

Запишем степени с отрицательными показателями в знаменатель:

$\frac{b^1}{a^1 \cdot c^2} = \frac{b}{ac^2}$.

Ответ: $\frac{b}{ac^2}$.