Номер 340, страница 69, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

340 Выполни действия:

a) $\frac{8}{35} \cdot \frac{25}{32}$;

б) $\frac{52}{85} \cdot \frac{5}{39}$;

в) $\frac{4}{7} \cdot \frac{19}{40} \cdot \frac{21}{38}$;

г) $\frac{11}{36} \cdot \frac{9}{20} \cdot \frac{10}{11}$;

д) $\left(\frac{5}{9}\right)^2$;

е) $\left(\frac{1}{4}\right)^3$;

ж) $\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} (a, b, c \in N)$;

з) $\frac{m^2}{2kt} \cdot \frac{4t}{m} (m, k, t \in N)$.

а)

Чтобы умножить дроби, перемножим их числители и знаменатели. Затем сократим полученную дробь.
$\frac{8}{35} \cdot \frac{25}{32} = \frac{8 \cdot 25}{35 \cdot 32}$
Разложим числа на множители для сокращения: $25 = 5 \cdot 5$, $35 = 7 \cdot 5$, $32 = 8 \cdot 4$.
$\frac{8 \cdot (5 \cdot 5)}{(7 \cdot 5) \cdot (8 \cdot 4)} = \frac{8 \cdot 5 \cdot 5}{7 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 4}$
Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе (8 и 5):
$\frac{\cancel{8} \cdot \cancel{5} \cdot 5}{7 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{8} \cdot 4} = \frac{5}{7 \cdot 4} = \frac{5}{28}$
Ответ: $\frac{5}{28}$

б)

Умножим дроби, записав произведение числителей в числитель, а произведение знаменателей в знаменатель:
$\frac{52}{85} \cdot \frac{5}{39} = \frac{52 \cdot 5}{85 \cdot 39}$
Разложим числа на множители для сокращения: $52 = 4 \cdot 13$, $85 = 17 \cdot 5$, $39 = 3 \cdot 13$.
$\frac{(4 \cdot 13) \cdot 5}{(17 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 13)} = \frac{4 \cdot 13 \cdot 5}{17 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 13}$
Сокращаем общие множители 13 и 5:
$\frac{4 \cdot \cancel{13} \cdot \cancel{5}}{17 \cdot \cancel{5} \cdot 3 \cdot \cancel{13}} = \frac{4}{17 \cdot 3} = \frac{4}{51}$
Ответ: $\frac{4}{51}$

в)

Перемножим все три дроби:
$\frac{4}{7} \cdot \frac{19}{40} \cdot \frac{21}{38} = \frac{4 \cdot 19 \cdot 21}{7 \cdot 40 \cdot 38}$
Разложим числа на множители для удобства сокращения: $21 = 3 \cdot 7$, $40 = 4 \cdot 10$, $38 = 2 \cdot 19$.
$\frac{4 \cdot 19 \cdot (3 \cdot 7)}{7 \cdot (4 \cdot 10) \cdot (2 \cdot 19)} = \frac{4 \cdot 19 \cdot 3 \cdot 7}{7 \cdot 4 \cdot 10 \cdot 2 \cdot 19}$
Сокращаем общие множители 4, 19 и 7:
$\frac{\cancel{4} \cdot \cancel{19} \cdot 3 \cdot \cancel{7}}{\cancel{7} \cdot \cancel{4} \cdot 10 \cdot 2 \cdot \cancel{19}} = \frac{3}{10 \cdot 2} = \frac{3}{20}$
Ответ: $\frac{3}{20}$

г)

Перемножим все три дроби:
$\frac{11}{36} \cdot \frac{9}{20} \cdot \frac{10}{11} = \frac{11 \cdot 9 \cdot 10}{36 \cdot 20 \cdot 11}$
Для сокращения разложим числа в знаменателе: $36 = 4 \cdot 9$, $20 = 2 \cdot 10$.
$\frac{11 \cdot 9 \cdot 10}{(4 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 10) \cdot 11} = \frac{11 \cdot 9 \cdot 10}{4 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 11}$
Сокращаем общие множители 11, 9 и 10:
$\frac{\cancel{11} \cdot \cancel{9} \cdot \cancel{10}}{4 \cdot \cancel{9} \cdot 2 \cdot \cancel{10} \cdot \cancel{11}} = \frac{1}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8}$
Ответ: $\frac{1}{8}$

д)

Возведение дроби в степень означает, что нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби.
$(\frac{5}{9})^2 = \frac{5^2}{9^2}$
Вычислим значения квадратов:
$\frac{5 \cdot 5}{9 \cdot 9} = \frac{25}{81}$
Ответ: $\frac{25}{81}$

е)

Чтобы возвести дробь в куб (третью степень), нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель.
$(\frac{1}{4})^3 = \frac{1^3}{4^3}$
Вычислим значения:
$1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$
Таким образом, результат равен $\frac{1}{64}$.
Ответ: $\frac{1}{64}$

ж)

Применим правило умножения дробей для буквенных выражений:
$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{b \cdot c}$
По условию $a, b, c$ — натуральные числа ($a, b, c \in N$), значит $b \neq 0$. Это позволяет нам сократить дробь на общий множитель $b$.
$\frac{a \cdot \cancel{b}}{\cancel{b} \cdot c} = \frac{a}{c}$
Ответ: $\frac{a}{c}$

з)

Умножим дроби с буквенными выражениями:
$\frac{m^2}{2kt} \cdot \frac{4t}{m} = \frac{m^2 \cdot 4t}{2kt \cdot m}$
Поскольку $m, k, t$ — натуральные числа ($m, k, t \in N$), они не равны нулю, и мы можем сокращать на них. Разложим $m^2$ как $m \cdot m$ и число 4 как $2 \cdot 2$.
$\frac{(m \cdot m) \cdot (2 \cdot 2) \cdot t}{2 \cdot k \cdot t \cdot m} = \frac{m \cdot m \cdot 2 \cdot 2 \cdot t}{2 \cdot k \cdot t \cdot m}$
Сократим общие множители $m$, $t$ и 2:
$\frac{\cancel{m} \cdot m \cdot \cancel{2} \cdot 2 \cdot \cancel{t}}{\cancel{2} \cdot k \cdot \cancel{t} \cdot \cancel{m}} = \frac{2m}{k}$
Ответ: $\frac{2m}{k}$