Номер 339, страница 69, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

339 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие:

Четырёхугольник называется ромбом, если все его стороны имеют одинаковую длину.

2) Сколько ромбов на рисунке?

3) Сформулируй гипотезу о свойстве диагоналей ромба.

4) Что общего между фигурами ромб и квадрат и чем они различаются?

5) Построй диаграмму Эйлера - Венна для множеств $A$, $B$, $C$ и $D$, где $A$ - множество всех четырёхугольников, $B$ - множество ромбов, $C$ - множество квадратов и $D$ - множество прямоугольников.

1) В данном определении: "Четырёхугольник называется ромбом, если все его стороны имеют одинаковую длину", определяемым понятием является ромб.

Ответ: ромб.

2) Чтобы определить количество ромбов, проанализируем каждую фигуру в соответствии с определением: ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны.

- Фигура a: является ромбом, так как все четыре стороны выглядят равными.

- Фигура b: является квадратом. Так как у квадрата все стороны равны, он является частным случаем ромба.

- Фигура c: является треугольником (3 стороны).

- Фигура d: является трапецией, её стороны очевидно не равны.

- Фигура e: является ромбом, все четыре стороны выглядят равными.

- Фигура f: является шестиугольником (6 сторон).

- Фигура k: является параллелограммом, у которого смежные стороны не равны.

- Фигура l: является параллелограммом, у которого смежные стороны не равны.

- Фигура m: является прямоугольником, у которого смежные стороны не равны.

Таким образом, ромбами являются фигуры a, b, и e.

Ответ: 3.

3) На основе свойств ромба можно сформулировать следующую гипотезу: диагонали ромба взаимно перпендикулярны (пересекаются под прямым углом) и в точке пересечения делятся пополам. Также можно добавить, что диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Ответ: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

4) Сравнение ромба и квадрата:

Общие свойства:

- И ромб, и квадрат — это четырёхугольники, у которых все стороны равны.

- Обе фигуры являются параллелограммами (противоположные стороны параллельны).

- У обеих фигур противоположные углы равны.

- Диагонали обеих фигур пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.

Различия:

- Углы: у квадрата все углы прямые ($90^\circ$). У ромба, если он не является квадратом, углы попарно равны (два острых и два тупых).

- Диагонали: у квадрата диагонали равны между собой. У ромба, не являющегося квадратом, диагонали имеют разную длину.

Таким образом, квадрат — это частный случай ромба.

Ответ: Общее: обе фигуры — четырёхугольники с четырьмя равными сторонами. Различие: у квадрата все углы прямые и диагонали равны, в то время как у ромба в общем случае это не так.

5) Для построения диаграммы Эйлера — Венна определим отношения между множествами:

A — множество всех четырёхугольников.

B — множество ромбов.

C — множество квадратов.

D — множество прямоугольников.

Отношения между множествами:

- Квадрат является и ромбом, и прямоугольником. Следовательно, множество квадратов $C$ является пересечением множеств ромбов $B$ и прямоугольников $D$. Это записывается как $C = B \cap D$.

- Все ромбы, прямоугольники и квадраты являются четырёхугольниками. Значит, множества $B$, $C$ и $D$ являются подмножествами множества $A$. То есть $B \subset A$, $D \subset A$, $C \subset A$.

Диаграмма, иллюстрирующая эти отношения:

На диаграмме: A — прямоугольник, B и D — пересекающиеся овалы внутри A, C — область их пересечения.

Ответ: Диаграмма представляет собой прямоугольник (множество А — четырёхугольники), внутри которого расположены два пересекающихся овала. Один овал — множество B (ромбы), другой — множество D (прямоугольники). Область их пересечения является множеством C (квадраты).