Номер 333, страница 67, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

333 Построй математическую модель задачи и найди ответ, воспользовавшись при необходимости методом перебора.

1) Одно из двух натуральных чисел на 4 больше другого. Найди эти числа, если их произведение равно 96.

2) У причала находилось 6 лодок, часть из которых были двухместными, а часть трёхместными. Всего в эти лодки может поместиться 14 человек. Сколько двухместных и сколько трёхместных лодок было у причала?

3) Прямоугольный газон обнесён изгородью, длина которой $30 \text{ м}$. Площадь газона $56 \text{ м}^2$. Найди длины сторон газона, если известно, что они выражаются натуральными числами.

4) В несколько посылок упаковали 36 книг и 54 журнала, распределив их между посылками поровну. В каждой посылке книг на 2 меньше, чем журналов. Сколько получилось посылок?

1) Пусть одно натуральное число равно $x$, тогда второе число, которое на 4 больше, равно $x+4$. По условию задачи, их произведение равно 96. Составим математическую модель в виде уравнения: $x \cdot (x+4) = 96$. Решим это уравнение методом перебора, подставляя натуральные числа вместо $x$.
Нам нужно найти такое натуральное число $x$, что оно и число $x+4$ при умножении дают 96. Давайте проверим несколько вариантов:
Если $x=1$, то произведение равно $1 \cdot (1+4) = 5$. Это слишком мало.
Если $x=4$, то произведение равно $4 \cdot (4+4) = 4 \cdot 8 = 32$. Уже ближе.
Если $x=6$, то произведение равно $6 \cdot (6+4) = 6 \cdot 10 = 60$.
Если $x=8$, то произведение равно $8 \cdot (8+4) = 8 \cdot 12 = 96$. Это верное равенство.
Таким образом, искомые числа — это 8 и 12.
Ответ: 8 и 12.

2) Пусть $x$ — количество двухместных лодок, а $y$ — количество трёхместных лодок.

Всего у причала было 6 лодок, что можно записать как уравнение: $x+y=6$.

Общая вместимость всех лодок — 14 человек. Вместимость двухместных лодок — $2x$, а трёхместных — $3y$. Получаем второе уравнение: $2x+3y=14$.

Составим систему уравнений:
$ \begin{cases} x+y=6 \\ 2x+3y=14 \end{cases} $
Так как $x$ и $y$ — это целые неотрицательные числа (количество лодок), мы можем использовать метод перебора. Из первого уравнения следует, что $y=6-x$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$2x + 3(6-x) = 14$
$2x + 18 - 3x = 14$
$18 - x = 14$
$x = 18 - 14$
$x = 4$
Теперь найдём $y$: $y = 6 - x = 6 - 4 = 2$.

Получается, у причала было 4 двухместных и 2 трёхместных лодки. Проверим: $4+2=6$ лодок, $2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 8 + 6 = 14$ человек.
Ответ: 4 двухместные и 2 трёхместные лодки.

3) Пусть стороны прямоугольного газона равны $a$ и $b$ метров, где $a$ и $b$ — натуральные числа.

Длина изгороди — это периметр прямоугольника: $P = 2(a+b)$. По условию, $P = 30$ м.

$2(a+b) = 30$
$a+b = 15$
Площадь газона вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию, $S = 56$ м².
$a \cdot b = 56$
Нам нужно найти два натуральных числа, сумма которых равна 15, а произведение — 56. Воспользуемся методом перебора, найдя пары натуральных множителей числа 56:
$56 = 1 \cdot 56$. Сумма: $1+56=57$ (не подходит).
$56 = 2 \cdot 28$. Сумма: $2+28=30$ (не подходит).
$56 = 4 \cdot 14$. Сумма: $4+14=18$ (не подходит).
$56 = 7 \cdot 8$. Сумма: $7+8=15$ (подходит).
Следовательно, стороны газона равны 7 м и 8 м.
Ответ: 7 м и 8 м.

4) Пусть $n$ — количество посылок. В каждой посылке было $k$ книг и $j$ журналов.

Всего было 36 книг и 54 журнала, которые распределили поровну. Это можно записать в виде уравнений:

$k \cdot n = 36$
$j \cdot n = 54$
Из этих уравнений видно, что число посылок $n$ должно быть общим делителем чисел 36 и 54.

По условию, в каждой посылке книг на 2 меньше, чем журналов: $k = j-2$.

Выразим $k$ и $j$ из первых двух уравнений: $k = 36/n$ и $j = 54/n$.

Подставим эти выражения в третье уравнение:

$ \frac{36}{n} = \frac{54}{n} - 2 $
Чтобы решить это уравнение, умножим все его части на $n$:

$36 = 54 - 2n$
Перенесём $2n$ влево, а 36 вправо:

$2n = 54 - 36$
$2n = 18$
$n = 9$
Проверим, подходит ли это значение. Если посылок 9, то в каждой будет $k = 36/9 = 4$ книги и $j = 54/9 = 6$ журналов. Разница между количеством журналов и книг в одной посылке: $j-k = 6-4=2$. Это соответствует условию задачи.
Ответ: 9 посылок.