Номер 342, страница 69, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

342 Вычисли:

а) $10\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{39}$; в) $5 \cdot 4\frac{7}{10}$; д) $1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{2}{3} \cdot 1\frac{3}{4} \cdot 1\frac{4}{5}$;

б) $1\frac{1}{2} \cdot 3\frac{8}{15}$; г) $1\frac{3}{8} \cdot 8$; е) $(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{4})(1-\frac{1}{5})(1+\frac{1}{6})(1-\frac{1}{7})$.

а)

Чтобы умножить смешанное число на дробь, сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:
$10\frac{2}{5} = \frac{10 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{52}{5}$
Теперь выполним умножение:
$10\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{39} = \frac{52}{5} \cdot \frac{2}{39} = \frac{52 \cdot 2}{5 \cdot 39}$
Сократим дробь. Заметим, что $52 = 4 \cdot 13$ и $39 = 3 \cdot 13$:
$\frac{(4 \cdot 13) \cdot 2}{5 \cdot (3 \cdot 13)} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 3} = \frac{8}{15}$
Ответ: $\frac{8}{15}$

б)

Для умножения двух смешанных чисел, переведем каждое из них в неправильную дробь:
$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$
$3\frac{8}{15} = \frac{3 \cdot 15 + 8}{15} = \frac{45 + 8}{15} = \frac{53}{15}$
Перемножим полученные дроби:
$\frac{3}{2} \cdot \frac{53}{15} = \frac{3 \cdot 53}{2 \cdot 15}$
Сократим числитель и знаменатель на 3:
$\frac{3 \cdot 53}{2 \cdot (5 \cdot 3)} = \frac{53}{2 \cdot 5} = \frac{53}{10}$
Выделим целую часть:
$\frac{53}{10} = 5\frac{3}{10}$
Ответ: $5\frac{3}{10}$

в)

Чтобы умножить целое число на смешанное, представим смешанное число в виде неправильной дроби:
$4\frac{7}{10} = \frac{4 \cdot 10 + 7}{10} = \frac{47}{10}$
Выполним умножение:
$5 \cdot \frac{47}{10} = \frac{5 \cdot 47}{10}$
Сократим дробь на 5:
$\frac{5 \cdot 47}{2 \cdot 5} = \frac{47}{2}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{47}{2} = 23\frac{1}{2}$
Ответ: $23\frac{1}{2}$

г)

Представим смешанное число в виде неправильной дроби, а целое число — в виде дроби со знаменателем 1:
$1\frac{3}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{11}{8}$
$8 = \frac{8}{1}$
Выполним умножение и сократим:
$1\frac{3}{8} \cdot 8 = \frac{11}{8} \cdot \frac{8}{1} = \frac{11 \cdot 8}{8 \cdot 1} = 11$
Ответ: $11$

д)

Для вычисления произведения преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
$1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$
$1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$
$1\frac{4}{5} = \frac{9}{5}$
Перемножим полученные дроби:
$\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{9}{5} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}$
Сократим общие множители в числителе и знаменателе (3 и 5):
$\frac{\cancel{3} \cdot \cancel{5} \cdot 7 \cdot 9}{2 \cdot \cancel{3} \cdot 4 \cdot \cancel{5}} = \frac{7 \cdot 9}{2 \cdot 4} = \frac{63}{8}$
Выделим целую часть:
$\frac{63}{8} = 7\frac{7}{8}$
Ответ: $7\frac{7}{8}$

е)

Сначала выполним действия в каждой скобке:
$1+\frac{1}{2} = \frac{2}{2}+\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
$1-\frac{1}{3} = \frac{3}{3}-\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$1+\frac{1}{4} = \frac{4}{4}+\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
$1-\frac{1}{5} = \frac{5}{5}-\frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
$1+\frac{1}{6} = \frac{6}{6}+\frac{1}{6} = \frac{7}{6}$
$1-\frac{1}{7} = \frac{7}{7}-\frac{1}{7} = \frac{6}{7}$
Теперь перемножим все полученные дроби:
$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{6}{7}$
Можно заметить, что многие множители сокращаются. Сгруппируем их:
$(\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}) \cdot (\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{7}{6} \cdot \frac{6}{7}) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$
Или можно записать все в одну дробь и сократить:
$\frac{3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 6}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{5040}{5040} = 1$
Ответ: $1$